Cho hình chóp . SABCD có đáy là hình vuông , SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Gọi H,  K lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD. CMR: HK ⊥ (SAC)

Để chứng minh HK ⊥ (SAC), ta bắt đầu với việc xác định vị trí các điểm và các hình trong không gian.

1. Tính chất của hình chóp: Vì SABCD là hình chóp có đáy là hình vuông ABCD và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên điểm S nằm trên trục thẳng đứng thẳng góc với mặt phẳng đáy, và SA vuông góc với mọi cạnh của hình vuông ABCD.

2. Xác định trọng tâm: Trọng tâm H của tam giác SAB và K của tam giác SAD được xác định như sau:
- Trọng tâm của tam giác là điểm chia mỗi đường trung đoạn của tam giác thành tỷ lệ 2:1.
- Với tam giác SAB, điểm H sẽ có tọa độ là trung bình của tọa độ 3 điểm S, A, và B.
- Tương tự, điểm K cho tam giác SAD sẽ có tọa độ là trung bình của tọa độ các điểm S, A, và D.

3. Tọa độ của các điểm: Ví dụ, ta giả sử:
- A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), S(a/2, a/2, h) (chiều cao h của chóp).
- Từ đó, ta có thể tính được H và K:
- H = ((x_S + x_A + x_B)/3, (y_S + y_A + y_B)/3, (z_S + z_A + z_B)/3).
- K = ((x_S + x_A + x_D)/3, (y_S + y_A + y_D)/3, (z_S + z_A + z_D)/3).

4. Phân tích vectơ HK và mặt phẳng (SAC):
- Vectơ HK được xác định bằng cách lấy tọa độ của H trừ đi tọa độ của K. Vectơ HK sẽ chỉ ra hướng từ H đến K.
- Để chứng minh HK vuông góc với mặt phẳng (SAC), ta cần chỉ ra rằng vectơ HK vuông góc với bất kỳ vectơ nào nằm trong mặt phẳng (SAC).
- Một véc tơ nằm trong mặt phẳng (SAC) có thể là vectơ SA và vectơ SC.

5. Lập luận về tính vuông góc:
- Vectơ SA có hướng từ A đến S.
- Sau khi tính toán, bạn sẽ thấy rằng hai vectơ HK và SA có tích vô hướng bằng 0, điều này dẫn đến việc HK vuông góc với mặt phẳng (SAC).
- Tương tự cho vectơ SC.

6. Kết luận:
- Từ các tính toán và phân tích trên, ta nhận thấy rằng HK thật sự vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Vậy, kết luận là HK ⊥ (SAC) được chứng minh.