Tâp nghiệm của phương trình

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phương trình.

Đầu tiên, xét phương trình đầu tiên:

\(\sqrt{2x - 1} = 2 - x\).

Ta bình phương hai vế để loại bỏ căn:

\(2x - 1 = (2 - x)^2\)

Mở rộng vế phải:

\(2x - 1 = 4 - 4x + x^2\)

Sắp xếp lại:

\(x^2 - 6x + 5 = 0\).

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:

\(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}\).

Ta có hai nghiệm:

\(x_1 = 5\) và \(x_2 = 1\).

Ta cần kiểm tra lại xem những nghiệm này có thỏa mãn phương trình ban đầu không:

1. Với \(x = 1\):

\(\sqrt{2(1) - 1} = 2 - 1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1\), đúng.

2. Với \(x = 5\):

\(\sqrt{2(5) - 1} = 2 - 5 \Rightarrow \sqrt{10 - 1} = -3\), không đúng.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{1\}\).

Câu hỏi thứ hai:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 5x^2 + 2x + 1\) trên đoạn \([-2, 2]\).

Hàm này là một hàm bậc hai với hệ số trước \(x^2\) dương (5), nên nó có hình dạng một parabol mở lên.

Giá trị nhỏ nhất sẽ xảy ra tại đỉnh của parabol hoặc tại các đầu của đoạn.

Tọa độ đỉnh \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 5} = -\frac{1}{5}\).

Vì \(-\frac{1}{5}\) nằm trong đoạn \([-2, 2]\), ta sẽ tính giá trị hàm tại \(x = -2\), \(x = 2\) và \(x = -\frac{1}{5}\):

1. Tại \(x = -2\):

\(y(-2) = 5(-2)^2 + 2(-2) + 1 = 20 - 4 + 1 = 17\).

2. Tại \(x = 2\):

\(y(2) = 5(2)^2 + 2(2) + 1 = 20 + 4 + 1 = 25\).

3. Tại \(x = -\frac{1}{5}\):

\(y\left(-\frac{1}{5}\right) = 5\left(-\frac{1}{5}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{5}\right) + 1 = 5 \cdot \frac{1}{25} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{4}{5}\).

So, giá trị nhỏ nhất là \(y = \frac{4}{5}\).

Tóm lại:

1. Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt{2x - 1} = 2 - x\) là \(S = \{1\}\).
2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 5x^2 + 2x + 1\) trên đoạn \([-2, 2]\) là \(\frac{4}{5}\).