Bài toán: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm. Cho AM = 7,2 cm. Tính AG. (cho hình vẽ, giả thuyết, kết luận , lời giải). Giải chi tiết và có giải thích

Hình vẽ: Vẽ tam giác ABC, vẽ đường trung tuyến AM từ đỉnh A đến cạnh BC. Đánh dấu trọng tâm G của tam giác, và vẽ đoạn thẳng AG từ đỉnh A đến trọng tâm G.

Giả thuyết: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM, G là trọng tâm của tam giác. Độ dài của AM = 7,2 cm.

Kết luận: Tính độ dài đoạn AG.

Lời giải:

1. Định nghĩa trọng tâm: Trọng tâm G của tam giác là điểm giao của các đường trung tuyến. Một tính chất quan trọng là đường trung tuyến được chia ra thành hai đoạn theo tỉ lệ 2:1, với đoạn từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện.

2. Áp dụng tính chất: Ở đây, AM là đường trung tuyến, vậy G sẽ chia AM thành hai đoạn AG và GM. Theo tính chất nêu trên, ta có:
- AG = 2 * GM.
- AM = AG + GM.

3. Gọi GM là x: Theo tỉ lệ, ta có AG = 2x và GM = x. Thay vào công thức AM:
- AM = AG + GM = 2x + x = 3x.

4. Giải phương trình:
- Được biết AM = 7,2 cm, ta có:
3x = 7,2 cm.

5. Tính x:
- x = 7,2 cm / 3 = 2,4 cm.

6. Tính AG:
- AG = 2x = 2 * 2,4 cm = 4,8 cm.

Kết quả cuối cùng:
AG = 4,8 cm.

Vì vậy, đoạn AG có độ dài là 4,8 cm, chứng minh rằng trọng tâm G chia đường trung tuyến AM thành hai đoạn theo tỉ lệ 2:1.