2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) đường kính AD, gọi E là giao điểm của AC và BD, kẻ EF  vuông góc với AD tại F.  1.  Chứng minh bốn điểm A, B, E, F cùng thuộc một đường tròn.  2.  Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCF

1. Để chứng minh bốn điểm A, B, E, F cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng các tính chất của hình tứ giác nội tiếp. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên có các góc đối diện cộng lại bằng 180 độ. Do AD là đường kính của đường tròn (O), nên góc AFD = 90 độ (theo định lý đường kính).

Trong tam giác AFD, nếu chúng ta chỉ ra rằng EF vuông góc với AD tại F và xem xét góc BAE và BFE, chúng ta thấy:

- Góc BAE = góc BFE (cùng đứng trước đường thẳng AC và EF tạo thành các cặp góc ứng với nhau).
- Từ đó suy ra CA là tia phân giác của góc BCF.

Vì EF vuông góc với AD và AD là một đường kính nên ta có thể kết luận rằng điểm F nằm trên đường tròn (O). Vì bốn điểm A, B, E, F đều nằm trên hai đường tròn và có tính chất góc đồng vị, cho nên theo tiêu chí đồng vị, bốn điểm này thuộc một đường tròn.

2. Để chứng minh CA là tia phân giác của góc BCF và rằng FAFD = FCFB, chúng ta phải phân tích hình học một cách chặt chẽ.

Theo giả thiết, EF vuông góc với AD tại điểm F, chúng ta có thể nhận ra rằng tam giác BCF và tam giác AFP có mối quan hệ về tỉ lệ. Theo định lý góc phân giác, ta có:

- Nếu CA là tia phân giác của góc BCF, vậy thì:
tan(BCE) = tan(FCE).
- Điều này chứng minh cho điều kiện cần thiết để CA là phân giác.

Để chứng minh FAFD = FCFB, ta có thể áp dụng định lý về tích trên các đoạn thẳng đồng dạng. Ta có thể dùng tính chất của tam giác chia cắt, phân bố lực trong các cạnh tương ứng, từ đó suy ra:

FA/FB = FC/FD -> FAFD = FBFC.

3. Đường tròn ngoại tiếp BFC cắt BD tại điểm M. Để chứng minh OM // AC, ta sử dụng tính chất của đường tròn tiếp xúc với các cạnh.

Từ việc đường tròn ngoại tiếp BFC cắt BD tại M và OM là đường nối từ trung điểm O của đường tròn (O) đến cạnh BFC, ta có thể áp dụng định lý về góc nội tiếp rằng góc BMO là góc nối BFD.

Trong các tứ giác nội tiếp đường tròn, với việc EM trở thành tiếp tuyến, OM sẽ trở thành đường thẳng vuông góc với AC tại điểm E. Do đó, OM // AC trở thành một hệ quả từ các tính chất trong tứ giác nội tiếp và cách mà giao điểm E phân chia các đường chéo dựa trên định lý gốc.