ĐỀ BÀI: so sánh A với 1/2

Để so sánh A với 1/2, trước tiên cần tính giá trị của A:

A = 1/3² + 1/4² + ... + 1/2009² + 1/2010²

Công thức tổng quát cho A là:

A = Σ(1/k²) từ k = 3 đến 2010.

Ta biết rằng tổng các số hạng 1/n² từ n=1 đến vô cùng có giá trị gần bằng π²/6 (khoảng 1.644934). Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần xem xét các số hạng từ 3 đến 2010.

Mỗi số hạng 1/k² trong khoảng từ k=3 đến 2010 sẽ nhỏ hơn 1/3², tương đương với 1/9.

Tổng số hạng từ 3 đến 2010 là:

Số hạng = 2010 - 3 + 1 = 2008 hạng.

Do đó, tổng của A sẽ nhỏ hơn:

A < 2008 × (1/9) = 223.11.

Nhưng chúng ta cần cụ thể hóa điều này để có thể so sánh với 1/2. Chúng ta biết rằng:

1/k² giảm dần khi k tăng, và giá trị A sẽ bao gồm các số hạng mà giá trị tăng dần lên, cho đến 2010.

Thực hiện một vài ước lượng với A:

A có thể được ước lượng từ công thức tổng quát 1/n².
Giá trị từ k=3 đến k=2010 sẽ nhỏ hơn 1/4 + 1/5 + ... + 1/2010.

Ta cũng có thể ước lượng chặt chẽ hơn bằng cách tính:

A > 1/2010² × (2008)

Dễ dàng chỉ ra rằng thành phần này gần bằng 1/20010, rất nhỏ so với 1/2.

Vì lý do đó, chúng ta kết luận rằng:

A < 1/2.