Cho tam giác ABC vuông cân tại A (Aˆ = 900, AB = AC). Kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với BC. Lấy điểm K ∈ d sao cho góc BCK = 300. a) Dựng tam giác đều BEC sao cho E và A cùng nằm trong nửa

a) Để dựng tam giác đều BEC sao cho E và A cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC, ta thực hiện các bước như sau:

1. Từ điểm B, vẽ đoạn thẳng BE với độ dài bằng độ dài BC.
2. Từ điểm E, vẽ một đường tròn có bán kính BE và tâm tại B. Đường tròn này sẽ cắt tiếp đường thẳng d tại điểm E, sao cho ∠EBC = 60° (do tam giác đều).
3. Khi đó, điểm E sẽ nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC với A.

Bây giờ, để chứng minh rằng ∆EAB = ∆EAC, ta sẽ làm như sau:

- Do tam giác ABC vuông cân tại A, ta có AB = AC.
- Trong tam giác đều BEC, ta có BE = EC.

Vì ∠EAB = ∠EAC (cùng bằng 60°) và AB = AC, ta có chứng minh rằng hai cạnh tương ứng của hai tam giác này là bằng nhau và có chung một góc ở A. Do đó, theo tiêu chuẩn của tam giác bằng nhau (Góc-Cạnh-Góc), ta suy ra rằng ∆EAB = ∆EAC.

b) Để chứng minh rằng tam giác BKC cân, ta sẽ xem xét các góc và độ dài các cạnh:

1. Theo đề bài, ta có BCK = 30°. Vì đường thẳng BC và d song song và A nằm trên d, nên ta cũng có BAK = 30°.
2. Do tam giác ABC vuông cân tại A, ta có ∠ABC = ∠ACB = 45°.

Như vậy, góc BKC và góc BAK có phần chung là B, và tổng độ lớn của chúng là:

- Góc BKC = 180°- (BKAC + BAC) = 180° - (30° + 45°) = 105°.

Vì BKA = 30° và BCK = 30°, nên chúng bằng nhau. Do đó, ta có BK = BC và BA = BC.

Vậy cả hai cạnh BA và BK bằng nhau, và cùng tạo ra những góc tương ứng tại B, suy ra rằng tam giác BKC là tam giác cân.