Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường cao AH a )chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC, Từ đó suy ra AB² = BH x BC b) lần lượt Gọi M N là trung điểm của AB và AC Chứng minh tứ giác bmnc

a) Để chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC, ta xét các góc của hai tam giác này.

- Tam giác ABC vuông tại A, tức là góc A = 90°.
- Xét tam giác HBA, ta có: góc HBA = góc CAB (bởi vì cả hai đều là góc tại điểm B của đường cao AH). Hơn nữa, góc HBA + góc AHB = 90°, và do AH là đường cao, nên góc AHB = góc C. Như vậy, ta có:

- Góc CAB = góc HBA
- Góc ABC = góc HBA + góc AHB = góc HBA + góc C = 90°

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có:

- Tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC (HBA ~ ABC).

Từ việc hai tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:

AB / AH = BH / AB = BC / AH.

Giả sử AH = h, thì:

AB / h = BH / AB => AB² = BH * h.

Vì BC = AH = h, ta có:

AB² = BH * BC.

Như vậy, ta đã chứng minh được AB² = BH * BC.

b) Ta nhận định M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

- Do đó, AM = MB và AN = NC. Khi đó, MN sẽ là đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm này.

Để chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh MN và BC song song, đồng thời độ dài của chúng bằng nhau:

- Trong tam giác ABC vuông cân tại A, AM = MB, AN = NC. Vậy:
- MN = 1/2(AB + AC) (theo đặc tính hình thang)

Để chứng minh MN = AH, ta nhận thấy rằng AH chính là độ cao từ đỉnh A xuống cạnh BC. Trong một tam giác vuông cân, chiều cao từ đỉnh vuông đến cạnh huyền cũng chính là cạnh đối diện.

Do đó, MN = AH và tứ giác BMNC là hình thang cân.

c) Để chứng minh BC = 3AK, ta cần tìm vị trí K - giao điểm của AH và CM.

Từ các kết quả trước đó, ta có độ dài các đoạn thích hợp. Với AH là đường cao, ta có:

- AK = AH / 3 (vì K nằm trên đường cao AH và chia đoạn AH thành 3 phần bằng nhau do tính chất của tam giác cân).

Tính độ dài cạnh BC, khi K chia AH thành các phần bằng nhau thì BC = 3 AK = 3 (AH/3) = AH.

Do đó, ta suy ra BC = 3AK.

Kết luận là có thể đạt được BC = 3 * AK thông qua các bước phân tích hình học như trên.