Chứng tỏ `n(n+1)(2n+1) vdots 2;3`

Để chứng minh công thức n(n+1)(2n+1)/6, ta sẽ sử dụng nguyên lý quy nạp.

1. Cơ sở quy nạp (base case):
Với n = 1:
LHS = 1(1+1)(21+1)/6 = 12*3/6 = 1.
RHS = 1. Đúng, vì LHS = RHS.

2. Giả thiết quy nạp (induction hypothesis):
Giả sử với n = k, ta có giả thiết đúng:
k(k+1)(2k+1)/6 = Σ(i^2) từ i=1 đến k.

3. Bước quy nạp (induction step):
Ta cần chứng minh rằng giả thiết cũng đúng với n = k+1:
Σ(i^2) từ i=1 đến k+1 = Σ(i^2) từ i=1 đến k + (k+1)^2.
Theo giả thiết quy nạp, phần đầu tiên là k(k+1)(2k+1)/6.
Vậy, ta có:
k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 = (k+1)(k(2k+1)/6 + (k+1)).
Đưa về mẫu chung:
= (k+1)(k(2k+1) + 6(k+1))/6.
= (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6.
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6 (do tháo gỡ).
Đây chính là công thức cho n = k+1.

Vậy, theo nguyên lý quy nạp, công thức n(n+1)(2n+1)/6 là đúng cho mọi n ≥ 1.