y = - x²/x+1 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x²/(x + 1), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm miền xác định:
Hàm số y = -x²/(x + 1) có miền xác định là tất cả các giá trị x mà tại đó mẫu của phân thức x + 1 khác 0. Điều này có nghĩa là x khác -1. Do đó, miền xác định của hàm số là (-∞, -1) ∪ (-1, ∞).

2. Tính giới hạn:
- Tại x tiến tới -1:
- Khi x tiến đến -1 từ bên trái (x → -1^-), ta có y = -(-1)²/(-1 + 1) = -1/0^- = +∞.
- Khi x tiến đến -1 từ bên phải (x → -1^+), ta có y = -(-1)²/(-1 + 1) = -1/0^+ = -∞.
- Tại x tiến tới ±∞:
- Khi x → +∞, y = -x²/(x + 1) ≈ -x = -∞.
- Khi x → -∞, y = -x²/(x + 1) ≈ -x = -∞.

3. Tính đạo hàm:
Tính đạo hàm y' để xác định tính đơn điệu của hàm số:
Sử dụng quy tắc thương:
y = -x²/(x + 1) → y' = [(x + 1)(-2x) - (-x²)(1)]/(x + 1)² = (2x² - 2x)/ (x + 1)².

Ta cần khảo sát dấu của y' để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến:
- 2x² - 2x = 2x(x - 1).
- Do đó, y' = 0 khi x = 0 và x = 1.
- Xét các khoảng:
+ Trên (-∞, 0): y' > 0 (hàm đồng biến).
+ Trên (0, 1): y' < 0 (hàm nghịch biến).
+ Trên (1, ∞): y' > 0 (hàm đồng biến).

4. Tính giá trị tại các điểm đặc biệt:
Tính giá trị của hàm tại x = 0 và x = 1:
- y(0) = 0.
- y(1) = -1.

5. Vẽ đồ thị:
Với các thông tin đã phân tích, ta có thể phác thảo đồ thị:
- Hàm số có tính chất đối xứng qua trục hoành.
- Tại x = -1, đồ thị có điểm không xác định (tiến tới vô cùng).
- Hàm số đạt cực trị tại x = 0 (giá trị là 0) và x = 1 (giá trị -1).

Như vậy, hàm số đồng biến trên (-∞, 0), nghịch biến trên (0, 1) và đồng biến trên (1, ∞). Đồ thị sẽ có hình dạng gần giống như một phần của parabol đi xuống với cực trị tại (0, 0) và (1, -1).