Giúp mình giải mấy bài toán này với ạ mình cảm ơn

Câu 1: Giải phương trình \( \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \).

Đầu tiên, ta sử dụng công thức cộng của hàm sin:

1. \( \sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) \).

Áp dụng vào phương trình ta có:

- Đặt \( A = 2x - \frac{\pi}{4} \) và \( B = x + \frac{\pi}{4} \).
- Tính \( \frac{A + B}{2} = \frac{(2x - \frac{\pi}{4}) + (x + \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{3x}{2} \).
- Tính \( \frac{A - B}{2} = \frac{(2x - \frac{\pi}{4}) - (x + \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{x - \frac{\pi}{2}}{2} \).

Nên phương trình trở thành:

\[
2 \sin\left(\frac{3x}{2}\right) \cos\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{2}\right) = 0.
\]

Như vậy ta có hai trường hợp:

1. \( \sin\left(\frac{3x}{2}\right) = 0 \)
- \( \frac{3x}{2} = n\pi \) (với \( n \in \mathbb{Z} \))
- \( x = \frac{2n\pi}{3} \).

2. \( \cos\left(\frac{x - \frac{\pi}{2}}{2}\right) = 0 \)
- \( \frac{x - \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))
- \( x - \frac{\pi}{2} = \pi + 2k\pi \)
- \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \).

Kết quả là:

\[
x = \frac{2n\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi.
\]

Câu 2: Trong mặt phẳng \( (\alpha) \), cho tứ giác ABCD. Gọi S là điểm không thuộc \( (\alpha) \), M là điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định giao điểm của AM và mặt phẳng \( (SBD) \).

Khái niệm tứ giác và điểm ngoài mặt phẳng giúp ta thấy rằng đường thẳng AM sẽ cắt mặt phẳng SBD như sau:

1. Xác định phương trình của đường thẳng AM, dùng tọa độ điểm A và M.
2. Xác định phương trình mặt phẳng SBD, dựa vào ba điểm S, B, D.
3. Lấy giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

Ta sẽ phải tìm tọa độ giao điểm bằng cách giải hệ phương trình giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Câu 3: Giả sử một vật khối dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình \( x = 3 \cos\left(4\pi t - \frac{2\pi}{3}\right) \).

Từ phương trình trên, ta xác định chu kỳ:

- Chu kỳ \( T = \frac{2\pi}{\omega} \) với \( \omega = 4\pi \).
- Vậy \( T = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} \) giây.

Thời gian từ 0 đến 5 giây sẽ có số dao động là:

\[
n = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10 \text{ lần}.
\]

Câu 4: Trong một khán phòng có tất cả 15 dãy ghế, đầu tiên có 12 ghế, các dãy liên sau nhiều hơn dãy trước đó 4 ghế, người ta tính khoảng thêm 588 ghế với quy luật số ghế của mỗi dãy tương tự dãy ghế trước.

Số ghế của dãy đầu tiên là 12 ghế, dãy thứ hai là \( 12 + 4 = 16 \), dãy thứ ba là \( 16 + 4 = 20 \), ...

Số ghế của dãy thứ \( n \) là:

\[
a_n = 12 + (n-1) \cdot 4 = 4n + 8.
\]

Tổng số ghế của 15 dãy là:

\[
S_{15} = \sum_{n=1}^{15} (4n + 8) = 4\sum_{n=1}^{15} n + 15 \cdot 8.
\]

Áp dụng công thức tổng của số tự nhiên, ta có:

\[
\sum_{n=1}^{15} n = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120.
\]

Vậy:

\[
S_{15} = 4 \cdot 120 + 120 = 480 + 120 = 600.
\]

Số ghế theo quy luật dãy sẽ xác định số ghế cho những dãy ghế còn lại sau 12 ghế đầu tiên.