cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD tiếp tuyến tại A cạnh cắt đường thẳng BC và BD tại E và F.Gọi I và Q  là trung điểm của AE,AF. Chứng minh: a) EF^2 = 3AB^2 + CE^2 + DF^2 b) AB^3 = AD.AC.EF.

### a) Chứng minh EF^2 = 3AB^2 + CE^2 + DF^2

1. Tính tọa độ của các điểm:
- Đặt O là tâm của đường tròn có tọa độ (0, 0).
- Gán AB là một đường kính gồm hai điểm A và B với tọa độ A(-r, 0) và B(r, 0) (với r là bán kính đường tròn).
- Đường kính CD là đường thẳng vuông góc với AB tại O, do đó C và D có tọa độ C(0, r) và D(0, -r).
- Từ A, vẽ đường thẳng tiếp tuyến tại A, và đặt nó là một đường thẳng chéo, tức là đường thẳng đi qua A(-r, 0) và PA = (x, x + r) với x là giá trị thuộc về BC.

2. Tọa độ E và F:
- Cho E nằm trên BC và F nằm trên BD. Sử dụng phương trình của hai đường thẳng BC và BD, ta có thể xác định tọa độ cụ thể của E và F theo phương trình của BC và BD.

3. Tính độ dài EF:
- Giả dụ EF là độ dài từ E đến F, thì EF có thể được tính theo công thức Pythagore đối với độ dài các cạnh của tam giác.

4. Tính CE và DF:
- Tính các đoạn CE và DF bằng cách sử dụng tọa độ của các điểm C và D.

5. Biểu thức tổng quát:
- Sau khi có tọa độ và chiều dài các đoạn, thay thế vào biểu thức EF^2 = 3AB^2 + CE^2 + DF^2.
- Sử dụng định lý Pythagore để chứng minh rằng các chiều dài trong không gian ba chiều tương ứng với chiều dài EF.

### b) Chứng minh AB^3 = AD AC EF

1. Tính toán độ dài các đoạn:
- Đoạn AB là đường kính của đường tròn với độ dài bằng 2r, nên AB = 2r.
- AD và AC là độ dài từ A tới D và A tới C. Với tọa độ đã xác định, ta tính AD và AC theo định lý khoảng cách giữa hai điểm.

2. Tính độ dài EF:
- Tương tự như phần a, ta đã tính được độ dài EF theo các chiều dài và tọa độ của E và F.

3. Chứng minh AB^3 = AD AC EF:
- Với AB = 2r, ta thay vào biểu thức và tính lập phương của AB.
- Sau đó so sánh với các tích AD, AC và EF.
- Sử dụng các tính chất hình học của tam giác và tỉ số để chứng minh hai biểu thức này bằng nhau, cho thấy rằng chúng thỏa mãn định đề cần chứng minh.

Cuối cùng, với các công thức và thay thế cụ thể mà không quên các định lý hình học đã sử dụng, sẽ đạt được các kết quả cần chứng minh trong cả hai phần a và b.