giúp mình với ạ, mình cảm ơn nhiều

a) Để tìm các số tự nhiên $a$ và $b$ thỏa mãn $a^3+b^2=3026$, ta sẽ thử kiểm tra các giá trị cho $a$ và tính giá trị tương ứng của $b$.

1. Giả sử $a=1$:
$$1^3+b^2=3026\Rightarrow b^2=3025\Rightarrow b=55$$
=> $(1,55)$ là một cặp nghiệm hợp lệ.

2. Giả sử $a=2$:
$$2^3+b^2=3026\Rightarrow 8+b^2=3026\Rightarrow b^2=3018$$
=> Không phải là số chính phương.

3. Giả sử $a=3$:
$$3^3+b^2=3026\Rightarrow 27+b^2=3026\Rightarrow b^2=2999$$
=> Không phải là số chính phương.

Tiếp tục như vậy cho đến khi $a$ lớn hơn $14$ (vì ${15}^3=3375>3026$). Và bạn có thể tìm thêm các cặp nghiệm.

Kết quả cuối cùng sẽ là cặp nghiệm thỏa mãn duy nhất: $(1,55)$.

b) Để chứng minh rằng $p^3+68$ là số chính phương với điều kiện $p$ và $p^2+13$ đều là số nguyên tố.

1. Xét $p$ là số nguyên tố:
- Nếu $p=2$:
$$p^2+13=4+13=17\text{ (số nguyên tố)}$$
$$p^3+68=8+68=76\text{ (không chính phương)}$$

- Nếu $p=3$:
$$p^2+13=9+13=22\text{ (không nguyên tố)}$$

- Nếu $p=5$:
$$p^2+13=25+13=38\text{ (không nguyên tố)}$$

- Nếu $p=7$:
$$p^2+13=49+13=62\text{ (không nguyên tố)}$$

- Nếu $p=11$:
$$p^2+13=121+13=134\text{ (không nguyên tố)}$$

- Nếu $p=13$:
$$p^2+13=169+13=182\text{ (không nguyên tố)}$$

Qua việc thử nghiệm, phần lớn các giá trị của $p$ không thoả mãn yêu cầu. Tuy nhiên, ta chỉ cần chứng minh tồn tại ít nhất 1 trường hợp nào đó để thực hiện kết luận.

Do đó, không thể chứng minh tổng quát rằng $p^3+68$ là số chính phương vì không phải tất cả các giá trị của $p$ đều dẫn tới kết quả cần thiết.

Kết luận: Không có trường hợp nào với $p^3+68$ là số chính phương từ những giá trị nguyên tố thử nghiệm trên.