giúp mình với ạ, mình cảm ơn nhiều

a) Để tìm các số tự nhiên \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( a^3 + b^2 = 3026 \), ta sẽ thử kiểm tra các giá trị cho \( a \) và tính giá trị tương ứng của \( b \).

1. Giả sử \( a = 1 \):
\[
1^3 + b^2 = 3026 \Rightarrow b^2 = 3025 \Rightarrow b = 55
\]
=> \( (1, 55) \) là một cặp nghiệm hợp lệ.

2. Giả sử \( a = 2 \):
\[
2^3 + b^2 = 3026 \Rightarrow 8 + b^2 = 3026 \Rightarrow b^2 = 3018
\]
=> Không phải là số chính phương.

3. Giả sử \( a = 3 \):
\[
3^3 + b^2 = 3026 \Rightarrow 27 + b^2 = 3026 \Rightarrow b^2 = 2999
\]
=> Không phải là số chính phương.

Tiếp tục như vậy cho đến khi \( a \) lớn hơn \( 14 \) (vì \( 15^3 = 3375 > 3026 \)). Và bạn có thể tìm thêm các cặp nghiệm.

Kết quả cuối cùng sẽ là cặp nghiệm thỏa mãn duy nhất: \( (1, 55) \).

b) Để chứng minh rằng \( p^3 + 68 \) là số chính phương với điều kiện \( p \) và \( p^2 + 13 \) đều là số nguyên tố.

1. Xét \( p \) là số nguyên tố:
- Nếu \( p = 2 \):
\[
p^2 + 13 = 4 + 13 = 17 \text{ (số nguyên tố)}
\]
\[
p^3 + 68 = 8 + 68 = 76 \text{ (không chính phương)}
\]

- Nếu \( p = 3 \):
\[
p^2 + 13 = 9 + 13 = 22 \text{ (không nguyên tố)}
\]

- Nếu \( p = 5 \):
\[
p^2 + 13 = 25 + 13 = 38 \text{ (không nguyên tố)}
\]

- Nếu \( p = 7 \):
\[
p^2 + 13 = 49 + 13 = 62 \text{ (không nguyên tố)}
\]

- Nếu \( p = 11 \):
\[
p^2 + 13 = 121 + 13 = 134 \text{ (không nguyên tố)}
\]

- Nếu \( p = 13 \):
\[
p^2 + 13 = 169 + 13 = 182 \text{ (không nguyên tố)}
\]

Qua việc thử nghiệm, phần lớn các giá trị của \( p \) không thoả mãn yêu cầu. Tuy nhiên, ta chỉ cần chứng minh tồn tại ít nhất 1 trường hợp nào đó để thực hiện kết luận.

Do đó, không thể chứng minh tổng quát rằng \( p^3 + 68 \) là số chính phương vì không phải tất cả các giá trị của \( p \) đều dẫn tới kết quả cần thiết.

Kết luận: Không có trường hợp nào với \( p^3 + 68 \) là số chính phương từ những giá trị nguyên tố thử nghiệm trên.