Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác BE(BE thuộc AC).Kẻ EH vuông góc với BC (H thuộc BC).Gọi K là giao điểm của BA và HE

a. Để chứng minh BE vuông góc với KC, ta sẽ áp dụng tính chất của phân giác và một số hình học trong tam giác vuông.

- Tam giác ABC vuông tại A, tức là góc A = 90 độ.
- BE là phân giác của góc ABC, do đó theo tính chất của phân giác, ta có:

(AB / AC) = (BE / EC) (1)

- K là giao điểm của BA và HE, trong đó EH vuông góc với BC. Điều này có nghĩa là HE là đường cao từ H đến cạnh BC.

- Từ góc vuông tại A, có thể nhận thấy rằng trong tam giác AHB, góc AHB cũng bằng 90 độ vì EH vuông góc với BC, và K nằm trên BA.

- Do đó, ta có tam giác ABK vuông tại K.

- Thêm vào đó, vì BE là phân giác của góc ABC, và HC vuông góc với BC, nên BE sẽ chia góc ABC thành hai góc bằng nhau. Từ đó, BE sẽ tạo với đường thẳng KC góc vuông.

- Kết luận từ (1) và các tính chất hình học đã đưa ra, ta có thể suy diễn rằng BE vuông góc với KC.

b. Chứng minh I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.

- Giả sử D là điểm nằm trên cạnh BC sao cho góc BAD = 45 độ. Do đó, trong tam giác ABD, góc BAD = 45 độ và góc ADB vuông. Điều này dẫn đến AB = AD (2).

- Gọi I là giao điểm của BE và AD. Phân giác BE chia góc ABC thành hai góc bằng nhau và từ đó có thể mong rằng BE gần như chia đều ba cạnh của tam giác.

- Do BE là phân giác, ta có:

(AB / AC) = (BE / EC)

- Từ (2), ta có thể thay thế AB = AD, từ đó áp dụng vào tọa độ hình học, cho thấy rằng quãng đường từ điểm I đến cạnh AB, AC và BC đều bằng nhau (3).

- Cuối cùng, vì điểm I nằm trên phân giác BE và cũng là trung điểm trong tam giác ABD, ta có I cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.

Kết luận, với các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.