giúp mình câu này với ạ

Để xét tính liên tục của hàm số \( f(x) \), ta cần xem xét từng miền và đặc biệt là điểm tại \( x = 1 \), nơi mà hàm có sự thay đổi biểu thức.

Hàm số được định nghĩa như sau:

1. \( f(x) = -\frac{x}{2} \) khi \( x \leq 1 \)
2. \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \) khi \( x > 1 \)

Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần thỏa mãn điều kiện:

\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)
\]

Bước 1: Tính giá trị \( f(1) \)

Tại \( x = 1 \):

\[
f(1) = -\frac{1}{2} = -0.5
\]

Bước 2: Tính giới hạn khi \( x \) tiến gần 1 từ bên trái

Khi \( x \to 1^- \), ta thay vào biểu thức của hàm khi \( x \leq 1 \):

\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( -\frac{x}{2} \right) = -\frac{1}{2} = -0.5
\]

Bước 3: Tính giới hạn khi \( x \) tiến gần 1 từ bên phải

Khi \( x \to 1^+ \), ta sử dụng biểu thức của hàm khi \( x > 1 \). Để tính giới hạn \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \), ta cần kiểm tra tử số và mẫu số:

- Tử số: \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \)
- Mẫu số: \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \)

Ta có thể rút gọn như sau khi \( x \to 1 \):

\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-2}{x+1}
\]

Khi \( x \to 1 \):

\[
\frac{1-2}{1+1} = \frac{-1}{2} = -0.5
\]

Bước 4: So sánh các giá trị

- Giới hạn trái: \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -0.5 \)
- Giới hạn phải: \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = -0.5 \)
- Giá trị tại điểm: \( f(1) = -0.5 \)

Từ đó, ta có:

\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = -0.5
\]

Kết luận, hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \).

Bước 5: Xét tính liên tục trên toàn miền xác định

- Với \( x < 1 \): Hàm \( f(x) = -\frac{x}{2} \) liên tục vì nó là một hàm bậc nhất.
- Với \( x > 1 \): Hàm \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \) cũng liên tục trên miền này ngoại trừ các điểm làm cho mẫu số bằng 0. Mẫu số \( x^2 - 1 = 0 \) chỉ có nghiệm tại \( x = \pm 1 \), và vì chúng ta chỉ xét cho \( x > 1 \), phần này liên tục cho mọi \( x > 1 \).

Vậy, hàm \( f(x) \) liên tục trên toàn miền xác định của nó.