tồn tại hay không các số nguyên a,b,c phân biệt thỏa mãn   6∣a-b∣=3∣b-c∣=9∣c-a∣

Để xem xét sự tồn tại của các số nguyên a, b, c phân biệt thỏa mãn điều kiện 6∣a - b∣ = 3∣b - c∣ = 9∣c - a∣, ta sẽ đặt:

k = 6∣a - b∣ = 3∣b - c∣ = 9∣c - a∣

Từ đó, ta có hệ phương trình:

1. ∣a - b∣ = k/6
2. ∣b - c∣ = k/3
3. ∣c - a∣ = k/9

Dựa vào biểu thức trên, ta thấy rằng mỗi biểu thức đều có thể được biểu diễn theo k. Bây giờ ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các số này.

Từ điều kiện 1, ta có ∣a - b∣ = k/6. Do đó:

a - b = k/6 hoặc b - a = k/6

Từ điều kiện 2, ta có ∣b - c∣ = k/3. Do đó:

b - c = k/3 hoặc c - b = k/3

Từ điều kiện 3, ta có ∣c - a∣ = k/9. Do đó:

c - a = k/9 hoặc a - c = k/9

Dựa vào điều này, ta sẽ thử nghiệm với từng trường hợp. Ta chọn trường hợp:

a - b = k/6
b - c = k/3
c - a = k/9

Tính toán từ trường hợp này:

1. Từ ∣a - b∣ = k/6, ta có a = b + k/6.
2. Từ ∣b - c∣ = k/3, ta có b = c + k/3, suy ra c = b - k/3.
3. Từ ∣c - a∣ = k/9, ta có c = a + k/9, suy ra a = c - k/9.

Bây giờ ta có ba biểu thức:

a = b + k/6
b = c + k/3
c = a + k/9

Thay các biểu thức lẫn nhau vào nhau, ta sẽ có hệ phương trình liên tục:

1. Thay b = c + k/3 vào a = b + k/6

a = (c + k/3) + k/6 = c + k/3 + k/6 = c + k(2 + 1)/6 = c + k/2.

2. Thay c = a + k/9 vào b = c + k/3

b = (a + k/9) + k/3 = a + k/9 + k/3 = a + k(1 + 3)/9 = a + 4k/9.

3. Cuối cùng, ta thay c = a - k/2 vào a = c + k/9:

a = (a - k/2) + k/9.

Điều này dẫn đến mối quan hệ giữa a, b, c có vẻ không còn giữ được sự phân biệt cho tất cả các giá trị nguyên, và đã dẫn tới các mối liên hệ mà các giá trị a, b, c trở nên tương đương (không phân biệt).

Khoảng cách giữa các số a, b, c là một tỉ lệ cụ thể, và do chúng phải thỏa mãn tỉ lệ trên thì sự khác biệt giữa chúng cũng bị ràng buộc một cách đặc biệt. Do đó, nếu giả sử một trong các số có thể lặp lại hoặc không khác biệt thì sẽ không thỏa mãn điều kiện đã cho.

Cuối cùng, ta thấy rằng không có các số nguyên a, b, c nào phân biệt thỏa mãn điều kiện 6∣a - b∣ = 3∣b - c∣ = 9∣c - a∣.