giải pt nghiệm nguyên : 3^x+8=y^2

Để giải phương trình \(3^x + 8 = y^2\) với \(x\) và \(y\) là các số nguyên, ta thực hiện các bước sau:

1. Đặt lại phương trình:
\[
3^x + 8 = y^2
\]

2. Kiểm tra các giá trị nguyên của \(x\):
- Với \(x = 0\):
\[
3^0 + 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2 \quad \Rightarrow y = 3
\]
Đây là một nghiệm hợp lý.

- Với \(x = 1\):
\[
3^1 + 8 = 3 + 8 = 11 \quad \text{không phải bình phương của số nguyên}
\]

- Với \(x = 2\):
\[
3^2 + 8 = 9 + 8 = 17 \quad \text{không phải bình phương của số nguyên}
\]

- Với \(x = 3\):
\[
3^3 + 8 = 27 + 8 = 35 \quad \text{không phải bình phương của số nguyên}
\]

- Với \(x \geq 4\), \(3^x\) sẽ rất lớn, và \(3^x + 8\) sẽ không thể là bình phương của một số nguyên vì bình phương của số nguyên luôn luôn kết thúc bằng 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9, và số lớn như vậy sẽ không phù hợp với điều kiện bình phương của số nguyên.

3. Kiểm tra các giá trị âm của \(x\):
- Với \(x = -1\):
\[
3^{-1} + 8 = \frac{1}{3} + 8 = \frac{25}{3} \quad \text{không phải số nguyên}
\]
- Với \(x = -2\):
\[
3^{-2} + 8 = \frac{1}{9} + 8 = \frac{73}{9} \quad \text{không phải số nguyên}
\]
- Với \(x \leq -3\), \(3^x\) sẽ rất nhỏ, và \(3^x + 8\) sẽ không thể là bình phương của một số nguyên vì sẽ không đủ lớn để là bình phương của một số nguyên.

Kết luận: Phương trình \(3^x + 8 = y^2\) có duy nhất một nghiệm nguyên là:
\[
x = 0, \quad y = 3
\]

Lý do là vì:
- \(3^0 + 8 = 9\) là bình phương của 3.
- Các giá trị khác của \(x\) không tạo ra một bình phương của số nguyên.