giải pt nghiệm nguyên : 3^x+8=y^2

Để giải phương trình $3^x+8=y^2$ với $x$ và $y$ là các số nguyên, ta thực hiện các bước sau:

1. Đặt lại phương trình:
$$3^x+8=y^2$$

2. Kiểm tra các giá trị nguyên của $x$:
- Với $x=0$:
$$3^0+8=1+8=9=3^2\Rightarrow y=3$$
Đây là một nghiệm hợp lý.

- Với $x=1$:
$$3^1+8=3+8=11\text{không phải bình phương của số nguyên}$$

- Với $x=2$:
$$3^2+8=9+8=17\text{không phải bình phương của số nguyên}$$

- Với $x=3$:
$$3^3+8=27+8=35\text{không phải bình phương của số nguyên}$$

- Với $x\ge 4$, $3^x$ sẽ rất lớn, và $3^x+8$ sẽ không thể là bình phương của một số nguyên vì bình phương của số nguyên luôn luôn kết thúc bằng 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9, và số lớn như vậy sẽ không phù hợp với điều kiện bình phương của số nguyên.

3. Kiểm tra các giá trị âm của $x$:
- Với $x=-1$:
$$3^{-1}+8=\frac{1}{3}+8=\frac{25}{3}\text{không phải số nguyên}$$
- Với $x=-2$:
$$3^{-2}+8=\frac{1}{9}+8=\frac{73}{9}\text{không phải số nguyên}$$
- Với $x\le -3$, $3^x$ sẽ rất nhỏ, và $3^x+8$ sẽ không thể là bình phương của một số nguyên vì sẽ không đủ lớn để là bình phương của một số nguyên.

Kết luận: Phương trình $3^x+8=y^2$ có duy nhất một nghiệm nguyên là:
$$x=0,y=3$$

Lý do là vì:
- $3^0+8=9$ là bình phương của 3.
- Các giá trị khác của $x$ không tạo ra một bình phương của số nguyên.