chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì ($2021^{2n+1}$+2020) chia hết cho 3

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức \(2021^{2n+1} + 2020\) chia hết cho 3, chúng ta sẽ xem xét từng thành phần trong biểu thức này theo modulo 3.

Trước tiên, chúng ta tính toán \(2021 \mod 3\):
- \(2021 = 3 \times 673 + 2\) nên \(2021 \equiv 2 \mod 3\).

Tiếp theo, ta sẽ tính \(2021^{2n+1} \mod 3\):
- \(2021^{2n+1} \equiv 2^{2n+1} \mod 3\).
- Bây giờ, chúng ta cần xem xét các trường hợp của \(2^{2n+1} \mod 3\).

Ta có quy luật sau về bậc của số 2 mod 3:
- \(2^1 \equiv 2 \mod 3\),
- \(2^2 \equiv 1 \mod 3\),
- \(2^3 \equiv 2 \mod 3\),
- \(2^4 \equiv 1 \mod 3\),
- Cứ như vậy, ta thấy rằng \(2^{k} \equiv 2 \mod 3\) nếu k là lẻ và \(2^{k} \equiv 1 \mod 3\) nếu k là chẵn.

Vì \(2n+1\) luôn là số lẻ (n là số tự nhiên), ta có:
- \(2^{2n+1} \equiv 2 \mod 3\).

Tiếp theo, ta tính \(2020 \mod 3\):
- \(2020 = 3 \times 673 + 1\) nên \(2020 \equiv 1 \mod 3\).

Giờ đây, ta có:
- \(2021^{2n+1} + 2020 \equiv 2 + 1 \mod 3\).
- Tính toán \(2 + 1 = 3\), và \(3 \equiv 0 \mod 3\).

Như vậy, \(2021^{2n+1} + 2020\) chia hết cho 3.

Kết luận: Với mọi số tự nhiên n, biểu thức \(2021^{2n+1} + 2020\) chia hết cho 3.