chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì ($2021^{2n+1}$+2020) chia hết cho 3

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức ${2021}^{2n+1}+2020$ chia hết cho 3, chúng ta sẽ xem xét từng thành phần trong biểu thức này theo modulo 3.

Trước tiên, chúng ta tính toán $2021\mathrm{mod}3$:
- $2021=3\times 673+2$ nên $2021\equiv 2\mathrm{mod}3$.

Tiếp theo, ta sẽ tính ${2021}^{2n+1}\mathrm{mod}3$:
- ${2021}^{2n+1}\equiv 2^{2n+1}\mathrm{mod}3$.
- Bây giờ, chúng ta cần xem xét các trường hợp của $2^{2n+1}\mathrm{mod}3$.

Ta có quy luật sau về bậc của số 2 mod 3:
- $2^1\equiv 2\mathrm{mod}3$,
- $2^2\equiv 1\mathrm{mod}3$,
- $2^3\equiv 2\mathrm{mod}3$,
- $2^4\equiv 1\mathrm{mod}3$,
- Cứ như vậy, ta thấy rằng $2^k\equiv 2\mathrm{mod}3$ nếu k là lẻ và $2^k\equiv 1\mathrm{mod}3$ nếu k là chẵn.

Vì $2n+1$ luôn là số lẻ (n là số tự nhiên), ta có:
- $2^{2n+1}\equiv 2\mathrm{mod}3$.

Tiếp theo, ta tính $2020\mathrm{mod}3$:
- $2020=3\times 673+1$ nên $2020\equiv 1\mathrm{mod}3$.

Giờ đây, ta có:
- ${2021}^{2n+1}+2020\equiv 2+1\mathrm{mod}3$.
- Tính toán $2+1=3$, và $3\equiv 0\mathrm{mod}3$.

Như vậy, ${2021}^{2n+1}+2020$ chia hết cho 3.

Kết luận: Với mọi số tự nhiên n, biểu thức ${2021}^{2n+1}+2020$ chia hết cho 3.