Câu 3. Có bao nhiêu cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 chiếc hộp khác nhau sao cho: Hộp 1 có ít nhất5 viên bi; hộp. 2 và hộp 3 có không quá 6 viên bi?

Để giải bài toán xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 chiếc hộp khác nhau với các điều kiện đặt ra, ta tiến hành như sau:

1. Điều kiện cho Hộp 1: Hộp 1 phải có ít nhất 5 viên bi. Ta sẽ cho trước 5 viên bi vào Hộp 1. Sau khi cho Hộp 1 5 viên bi, ta còn lại 30 - 5 = 25 viên bi.

2. Điều kiện cho Hộp 2 và Hộp 3: Hộp 2 và Hộp 3 có không quá 6 viên bi. Ta sẽ ký hiệu số viên bi trong Hộp 2 và Hộp 3 lần lượt là x và y. Theo yêu cầu, ta có điều kiện: 0 ≤ x ≤ 6 và 0 ≤ y ≤ 6. Tổng số viên bi mà Hộp 2 và Hộp 3 có thể nhận được là x + y.

3. Hộp 4 và Hộp 5: Số viên bi còn lại (không bao gồm số viên bi trong Hộp 1, Hộp 2 và Hộp 3) sẽ được phân phối cho Hộp 4 và Hộp 5. Gọi số viên bi trong Hộp 4 là z và Hộp 5 là w. Ta có tổng số viên bi trong cả 5 hộp là:
5 + x + y + z + w = 30.
Vậy ta có:
x + y + z + w = 25.

4. Giải phương trình: Kết hợp các điều kiện trên:

- Tổng số x + y không được vượt quá 12 (bởi vì mỗi hộp từ Hộp 2 đến Hộp 3 không quá 6 viên): 0 ≤ x ≤ 6 và 0 ≤ y ≤ 6.

- Số viên bi còn lại là z + w = 25 - (x + y).

5. Áp dụng công thức tổng hợp: Ta thực hiện một số kiểm tra và tính toán:

- Số cách chọn x và y với điều kiện không quá 6 viên bi trong mỗi hộp. Xét tổng hợp số cách chọn cho từng giá trị của x và y từ 0 đến 6, ta sẽ có tổng số cách phân bố cho x và y là số cách tổ hợp.

6. Cuối cùng: Sau khi xác định được số cách phân phối vào Hộp 2 và Hộp 3, ta tính số cách phân phối số viên bi còn lại vào Hộp 4 và Hộp 5 mà không có giới hạn.

Bằng cách sử dụng nguyên lý phân phối (stars and bars) cho phép ta tính số cách phân phối một số lượng nhất định viên bi vào nhiều hộp mà không có giới hạn, chúng ta có thể tính được tổng số cách xếp này.

Kết quả cuối cùng sẽ có thể tìm được qua chỉ số tổ hợp tổng quát đối với các điều kiện đã nêu.