Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x^2+2y^2-2xy+2x-6y+2028

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 2028, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Nhóm các hạng tử: Ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến x và y lại với nhau.

A = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 6y + 2028.

Như vậy, ta có thể viết lại A như sau:

A = (x^2 - 2xy + 2y^2) + (2x - 6y) + 2028.

2. Đưa biểu thức về dạng hoàn chính: Xét phần x^2 - 2xy + 2y^2.

Ta sẽ phát hiện rằng này có thể viết thành:

x^2 - 2xy + 2y^2 = (x - y)^2 + y^2.

Do đó, ta có thể thay biểu thức của A như sau:

A = (x - y)^2 + y^2 + 2x - 6y + 2028.

3. Giải quyết phần (2x - 6y): Để tối ưu hóa biểu thức, ta có thể xem x là biến phụ thuộc vào y hoặc ngược lại. Ta sẽ tạm thời xem x như một hàm của y và tối ưu hóa.

Ta đặt hàm g(y) = 2x - 6y, với x được viết dưới dạng x = (y + k) ở đâu đó cho một hằng số k. Nhắm bằng phương pháp thay thế sẽ làm cho vấn đề đơn giản hơn.

4. Tìm giá trị tối ưu: Ta có thể giải phần này bằng cách lấy đạo hàm và tìm điểm cực trị. Đầu tiên, ta tìm đạo hàm phần A theo x và theo y.

Đạo hàm theo x:
dA/dx = 2x - 2y + 2 = 0 => x - y + 1 = 0 => x = y - 1.

Đạo hàm theo y:
dA/dy = 4y - 2x - 6 = 0.

Thay x = y - 1 vào phương trình đạo hàm theo y:
4y - 2(y - 1) - 6 = 0.
=> 4y - 2y + 2 - 6 = 0 => 2y - 4 = 0 => y = 2.

5. Tính giá trị x: Khi y = 2, ta thay vào x = y - 1.
x = 2 - 1 = 1.

6. Tính giá trị A tại x = 1 và y = 2:
A = 1^2 + 2(2^2) - 2(1)(2) + 2(1) - 6(2) + 2028.
= 1 + 2(4) - 4 + 2 - 12 + 2028.
= 1 + 8 - 4 + 2 - 12 + 2028.
= 2023.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2023.