.........................................................

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một cách chi tiết.

Phần S:

Biểu thức \( S = \frac{2}{11.15} + \frac{2}{15.19} + \frac{2}{19.23} + \ldots + \frac{2}{51.55} \) gồm các phân số mà tử số là 2. Để tính giá trị biểu thức này, ta có thể rút gọn chung bằng cách rút ra số 2 từ mỗi phân số:

\( S = 2 \left( \frac{1}{11.15} + \frac{1}{15.19} + \frac{1}{19.23} + \ldots + \frac{1}{51.55} \right) \).

Ta cần tìm tổng các phân số trong dấu ngoặc. Để tính tổng này, chúng ta có thể xem xét tính chất của các số trong mẫu số.

Các mẫu số có thể được biểu diễn dưới dạng bậc hai với số hạng là số lẻ, và có sự chênh lệch giữa các số trong dấu ngoặc. Ví dụ, số hạng đầu tiên \( 11.15 = 11 + 0.15 \), số tiếp theo là \( 15.19 = 15 + 0.19 \), cứ tiếp tục như vậy chúng ta có thể thấy rằng mẫu số đang tăng dần.

Mỗi mẫu số nên được xét tách ra thành phần từng phần để tiện tổng hợp. Tuy nhiên, nếu không có quy luật rõ ràng cho \( k \), việc tính toán có thể trở nên khó khăn mà không có thêm thông tin hoặc quy luật, các phân số này có xu hướng hội tụ theo cách gọi là "tổng của dị hợp".

Phần P:

Đối với \( P = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{99.100} \), chúng ta có thể rút ra một công thức chung cho mẫu số. Tổng quát, mỗi phân số có thể được viết dưới dạng:

\( \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \).

Từ đó, ta có thể thu gọn:

P = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \]

Khi thực hiện phép cộng các phân số này, chúng ta thấy rằng mọi số trong biểu thức sẽ hủy bỏ nhau, chỉ để lại:

P = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}.

Phần A:

Đối với \( A = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \ldots + \frac{1}{97.99} \):

Với mỗi số hạng có thể được diễn đạt theo công thức:

\(\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)\).

Ta có thể tính tổng này theo cách tương tự như P.

Phần B:

Cuối cùng, cho \( B = (1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{3}) \cdots (1 + \frac{1}{2018}) \):

Đây là một sản phẩm không bị giới hạn hơn. Từng biểu thức trong dấu ngoặc thể hiện như một chuỗi cộng dồn mà cho ra giá trị là một phép nhân của các số hạng với \((1 + x)\) (tổng của từng phần tử), và nó sẽ cho ra tổng lớn nhất.

Tính toán cụ thể có thể phức tạp, do đó, phương pháp giả định số hạng này có thể được sử dụng để tìm giá trị cuối cùng.

Tóm lại, mỗi phần của bài toán có quy luật riêng trong việc rút gọn và tổng hợp, các công thức bất đẳng thức trong vỏ bọc các giới hạn cho chúng ta biết rằng giải pháp không nhất thiết phải chính xác từng bước mà chỉ cần tính toán theo mô hình thích hợp cho từng phần.