Vẽ bảng xét dấu của hàm số

Để xét dấu của hàm số y = f(x) = (x² + x - 1) / (x - 1), trước tiên ta cần tìm điều kiện xác định và các điểm mà hàm số có thể đổi dấu.

1. Điều kiện xác định:
Hàm số có mẫu là (x - 1). Do đó, để xác định hàm số, mẫu phải khác không:
x - 1 ≠ 0 => x ≠ 1

Hàm số xác định trên R \ {1}.

2. Tính dấu của tử số:
Ta cần xét dấu của tử số: x² + x - 1.
Để làm điều này, ta tìm nghiệm của phương trình x² + x - 1 = 0 bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, với a = 1, b = 1, c = -1.

b² - 4ac = 1² - 4 1 (-1) = 1 + 4 = 5 > 0.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Nghiệm là:
x₁ = (-1 + √5) / 2,
x₂ = (-1 - √5) / 2.

Khoảng nghiệm:
x₁ ≈ 0.618 và x₂ ≈ -1.618.

3. Xét dấu của hàm số:
Ta chia số thực thành các khoảng:
(-∞, x₂), (x₂, x₁), (x₁, 1), (1, +∞).

- Trên khoảng (-∞, x₂), chọn x = -2:
x² + x - 1 = 4 - 2 - 1 = 1 > 0 (tử dương).
x - 1 = -2 - 1 = -3 < 0 (mẫu âm).
=> f(x) < 0.

- Trên khoảng (x₂, x₁), chọn x = 0:
x² + x - 1 = 0² + 0 - 1 = -1 < 0 (tử âm).
x - 1 = 0 - 1 = -1 < 0 (mẫu âm).
=> f(x) > 0.

- Trên khoảng (x₁, 1), chọn x = 0.7:
x² + x - 1 = (0.7)² + 0.7 - 1 = 0.49 + 0.7 - 1 ≈ 0.19 > 0 (tử dương).
x - 1 = 0.7 - 1 = -0.3 < 0 (mẫu âm).
=> f(x) < 0.

- Trên khoảng (1, +∞), chọn x = 2:
x² + x - 1 = 4 + 2 - 1 = 5 > 0 (tử dương).
x - 1 = 2 - 1 = 1 > 0 (mẫu dương).
=> f(x) > 0.

4. Bảng xét dấu:

| Khoảng | Xét dấu tử số | Xét dấu mẫu | Ký hiệu hàm f(x) |
|---------------|---------------------|--------------|------------------|
| (-∞, -1.618) | dương | âm | âm |
| (-1.618, 0.618) | âm | âm | dương |
| (0.618, 1) | dương | âm | âm |
| (1, +∞) | dương | dương | dương |

Tóm lại, hàm số f(x) có dấu:
- Âm trên khoảng (-∞, -1.618) và (0.618, 1).
- Dương trên khoảng (-1.618, 0.618) và (1, +∞).