Giúp tớ giải nhanh với ạ

Câu 1:

a. Tính giới hạn:

Xét giới hạn:

\[
\lim_{x \to +\infty} x \cdot \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right)
\]

Ta có thể biến đổi biểu thức trong dấu ngoặc:

\[
\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}
\]

Như vậy,

\[
x \cdot \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x}
\]

Khi x tiến đến vô cực, biểu thức trở thành:

\[
\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + 1}
\]

Rút gọn:

\[
\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1 \text{ khi } x \to +\infty
\]

Vậy:

\[
\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
\]

Do đó,

\[
\lim_{x \to +\infty} x \cdot \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) = \frac{1}{2}
\]

b. Khảo sát tính liên tục của hàm số:

Hàm số đã cho:

\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x^2 - 25}{x - 5} & \text{ khi } x \neq 5 \\
c & \text{ khi } x = 5
\end{cases}
\]

Để khảo sát tính liên tục tại x = 5, ta cần tìm giới hạn:

\[
\lim_{x \to 5} f(x)
\]

Tính giới hạn:

\[
\frac{x^2 - 25}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5 \text{ (khi } x \neq 5 \text{)}
\]

Khi x tiến gần đến 5, ta có:

\[
\lim_{x \to 5} f(x) = 5 + 5 = 10
\]

Để hàm f(x) liên tục tại x = 5, ta cần điều kiện:

\[
c = 10
\]

Vậy, hàm f(x) liên tục tại x = 5 nếu c = 10.