Cho DABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. a) Giả sử có AB = 9 cm; AB = 12Tính Diện tích tam giác ABC và các tỉ số lượng giác của góc nhọn B. b) AH2 = AB.AC.CosB.CosC c) Trên tia đối của tia HB lấy điểm E sao

a) Để tính diện tích tam giác ABC, trước tiên ta sử dụng công thức tính diện tích của tam giác vuông:

Diện tích = (1/2) cạnh đáy chiều cao.

Trong tam giác vuông ABC, cạnh AB là chiều cao và cạnh AC là cạnh đáy. Với AB = 9 cm và AC = 12 cm, chúng ta có:

Diện tích ABC = (1/2) AB AC = (1/2) 9 12 = 54 cm².

Tiếp theo, để tính tỉ số lượng giác của góc nhọn B, ta có thể sử dụng các định nghĩa:

1. SinB = đối/hiện = AC/AB = 12/9 = 4/3.

2. CosB = kề/hiện = AB/BC. Để tìm BC, ta sử dụng định lý Pythagore:

BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
=> BC = √225 = 15 cm.

Vậy CosB = AB/BC = 9/15 = 3/5.

3. TanB = đối/kề = AC/AB = 12/9 = 4/3.

b) Giả sử AH là đường cao từ A đến cạnh BC. Do tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AH² = AB AC CosB * CosC.

Mà CosC = SinB (vì C là góc bổ sung của B trong tam giác vuông ABC). Do đó, công thức có thể viết lại thành:

AH² = AB AC CosB * SinB.

Từ đó chứng minh cho quan hệ này. Bởi vì SinB = 4/5 (từ định nghĩa với BC) và CosB = 3/5, ta thấy:

AH² = 9 12 (3/5) (4/5) = 9 12 * 12/25 = 1296/25 = 51,84 cm².

c) Tại điểm E, ta có HE = HA và kẻ đường thẳng vuông góc với BC. Gọi điểm cắt này là điểm F.

Theo định lý Pythagore cho tam giác ABE (hoặc AEF), vì tam giác ABF là vuông cân tại F, ta cần chứng minh AE BC = AC BF.

Vì HE = HA, áp dụng Pythagore cho tam giác AEF chúng ta có:

AE² = AF² + EF², trong đó EF vuông góc với BC.

Dựa vào tính chất tỉ số cạnh trong tam giác giống nhau, AE và AC có tỉ lệ nhất định với cạnh còn lại.

Vì vậy, AE BC = AC BF từ định lý tỉ số đồng dạng, cho thấy rằng tam giác ABF không chỉ vuông mà còn vuông cân, tức là AB = BF.

Chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu trong phần c của bài toán.