Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Qua 1 về IM vuông góc với AB tại M, IN vuông góc với AC tại N. là hình chữ nhật. b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N.

Câu 16: Để chứng minh rằng ADCI là hình thoi, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác ADCI bằng nhau.

- Đầu tiên, I là trung điểm của BC, nên IA = IB = IC = x (x là khoảng cách từ A đến I).
- Ta đã có IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. Điều này có nghĩa rằng góc AMI = 90 độ và góc ANI = 90 độ.
- Do tính chất của hình chữ nhật, ta có AN = IM (cạnh đối diện của hình chữ nhật) và AD = DC (cạnh đối diện của tứ giác ADCI).
- Bây giờ, để chứng minh hình thoi, ta cần chứng minh rằng IA = IC. Đặc biệt, I nằm trên BC, là trung đoạn của BC, khiến IA = IC và IN = IM (do IM vuông góc với AB và IN vuông góc với AC).

Như vậy ta có 4 cạnh của tứ giác ADCI: IA = IC và AN = IM. Do đó, ADCI là hình thoi.

Câu 17: Để chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2, ta xem xét các điều kiện đã cho:

1. Vì a chia cho 3 dư 2, ta có thể viết a = 3k + 2 với k là số nguyên.
2. Tương tự, vì b chia cho 3 dư 1, ta có b = 3m + 1 với m cũng là số nguyên.

Khi nhân hai phương trình này, ta có:
ab = (3k + 2)(3m + 1) = 9km + 3k + 6m + 2.

Tách các thành phần ra theo mod 3:
- 9km chia cho 3 dư 0.
- 3k chia cho 3 dư 0.
- 6m chia cho 3 dư 0.
- 2 vẫn giữ nguyên dư 2.

Ghép lại, ta có:
ab ≡ 0 + 0 + 0 + 2 (mod 3) ⇒ ab ≡ 2 (mod 3).

Do đó, a.b chia cho 3 dư 2.