tìm m để pt  `cos2x -(2m-1)cosx -m+1=0` có đúng hai nghiệm thuộc `[-pi/2;pi/2]`

Để tìm giá trị của m sao cho phương trình `cos(2x) - (2m - 1)cos(x) - (m - 1) = 0` có đúng hai nghiệm thuộc khoảng `[-π/2; π/2]`, ta bắt đầu bằng cách biến đổi phương trình.

Biết rằng công thức `cos(2x)` có thể viết lại thành `2cos^2(x) - 1`, nên phương trình có thể được viết lại là:

`2cos^2(x) - 1 - (2m - 1)cos(x) - (m - 1) = 0`.

Rút gọn nó thành:

`2cos^2(x) - (2m - 1)cos(x) - (m - 1) - 1 = 0`.

Biến đổi tiếp theo, ta có:

`2cos^2(x) - (2m - 1)cos(x) - m = 0`.

Đặt `y = cos(x)`, ta có phương trình bậc hai sau trong biến y:

`2y^2 - (2m - 1)y - m = 0`.

Phương trình bậc hai này có dạng `Ay^2 + By + C = 0`, với:

- A = 2
- B = -(2m - 1)
- C = -m

Để phương trình bậc hai này có hai nghiệm, điều kiện cần thỏa mãn là:

`Δ = B^2 - 4AC > 0`.

Tính delta (Δ):

`Δ = (-(2m - 1))^2 - 4 2 (-m) = (2m - 1)^2 + 8m`.

`Δ = (4m^2 - 4m + 1) + 8m = 4m^2 + 4m + 1`.

Vì `(4m^2 + 4m + 1)` luôn dương cho mọi m, nên phương trình luôn có hai nghiệm thực.

Tuy nhiên, để chắc chắn rằng cả hai nghiệm thuộc khoảng `[-1, 1]` (vì `y = cos(x)` và `cos(x)` chỉ nhận giá trị trong khoảng này), ta cần xét phương trình bậc hai này hơn nữa:

Nghiệm của phương trình bậc hai được tìm bằng công thức nghiệm:

`y = (-B ± √Δ) / (2A) = ((2m - 1) ± √(4m^2 + 4m + 1)) / 4`.

Để có đúng hai nghiệm trong khoảng `[-1, 1]`, ta cần xác định hai điều kiện:

1. Nghiệm lớn nhất phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.
2. Nghiệm nhỏ nhất phải lớn hơn hoặc bằng -1.

Đầu tiên, xét nghiệm lớn nhất:

`(2m - 1 + √(4m^2 + 4m + 1))/4 ≤ 1`.

Giải bất phương trình này:

`2m - 1 + √(4m^2 + 4m + 1) ≤ 4`.

`2m + √(4m^2 + 4m + 1) ≤ 5`.

`√(4m^2 + 4m + 1) ≤ 5 - 2m`.

Bình phương hai bên:

`4m^2 + 4m + 1 ≤ (5 - 2m)^2`.

`4m^2 + 4m + 1 ≤ 25 - 20m + 4m^2`.

Sắp xếp lại:

`24m ≤ 24`.

`m ≤ 1`.

Tiếp theo, xét nghiệm nhỏ nhất:

`(2m - 1 - √(4m^2 + 4m + 1))/4 ≥ -1`.

Giải bất phương trình này:

`2m - 1 - √(4m^2 + 4m + 1) ≥ -4`.

`2m - 1 + 4 ≥ √(4m^2 + 4m + 1)`.

`2m + 3 ≥ √(4m^2 + 4m + 1)`.

Bình phương hai bên:

`(2m + 3)^2 ≥ 4m^2 + 4m + 1`.

`4m^2 + 12m + 9 ≥ 4m^2 + 4m + 1`.

Sắp xếp lại:

`8m + 8 ≥ 0`.

`m ≥ -1`.

Tóm lại, điều kiện cho m là:

`-1 ≤ m ≤ 1`.

Để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc khoảng `[-π/2; π/2]`, m phải nằm trong khoảng [-1, 1].