Giải bài 4.39 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho $\widehat{CAM}={30}^o$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAM cân tại M;

b) Tam giác BAM là tam giác đều;

c) M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Lời giải chi tiết

a)      Xét tam giác ABC có:

$\begin{array}{l}\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^o\\ =>{90}^o+{60}^o+\hat{C}={180}^o\\ =>\hat{C}={30}^o\end{array}$

Xét tam giác CAM có $\hat{A}=\hat{C}={30}^o$

=>Tam giác CAM cân tại M.

b) Xét tam giác ABM có:

$\begin{array}{l}\hat{C}+\widehat{CMA}+\widehat{CAM}={180}^o\\ =>{30}^o+\widehat{CMA}+{30}^o={180}^o\\ =>\widehat{CMA}={120}^o\\ =>\widehat{BMA}={180}^o-\widehat{CMA}={180}^o-{120}^o={60}^o\end{array}$

Xét tam giác ABM có:

$\begin{array}{l}\hat{B}+\widehat{BMA}+\widehat{BAM}={180}^o\\ =>{60}^o+{60}^o+\widehat{BAM}={180}^o\\ =>\widehat{BAM}={60}^o\end{array}$

Do $\widehat{BAM}=\widehat{BMA}=\widehat{ABM}={60}^o$ nên tam giác ABM đều.

c) Vì $\mathrm{\Delta }ABM$ đều nên $AB=BM=AM$

Mà $\mathrm{\Delta }CAM$ cân tại M nên MA = MC

Do đó, MB = MC. Mà M nằm giữa B và C

=> M là trung điểm của BC.