Lý thuyết Tỉ lệ thức - Dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 Chân trời sáng tạo

I. Các kiến thức cần nhớ

1. Tỉ lệ thức

Ví dụ: ${\displaystyle \frac{28}{24}}={\displaystyle \frac{7}{6}};$${\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{2,1}{7}}$

Ví dụ: Ta có ${\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{9}{18}}\Rightarrow 3.18=9.6\left(=54\right)$

Vì $4.9=3.12(=36)$ nên ta có các tỉ lệ thức sau: ${\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{12}{9}};{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}};{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{3}{9}};{\displaystyle \frac{12}{4}}={\displaystyle \frac{9}{3}}$ 

Chú ý:

Khi nói các số $x,y,z$ tỉ lệ với các số $a,b,c$ tức là ta có ${\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}={\displaystyle \frac{z}{c}}$. Ta cũng viết $x:y:z=a:b:c$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước

Phương pháp:

Ta sử dụng: Nếu  $a.d=b.c$ thì

${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$; ${\displaystyle \frac{a}{c}}={\displaystyle \frac{b}{d}}$; ${\displaystyle \frac{d}{b}}={\displaystyle \frac{c}{a}};$ ${\displaystyle \frac{d}{c}}={\displaystyle \frac{b}{a}}.$

Dạng 2: Tìm x, y

Phương pháp:

Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: Nếu ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ thì $a.d=b.c$

Trong một tỉ lệ thức ta có thể tìm một số hạng chưa biết khi biết ba số hạng còn lại.

${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{bc}{d}};b={\displaystyle \frac{ad}{c}};$$c={\displaystyle \frac{ad}{b}};d={\displaystyle \frac{bc}{a}}$ .

Ví dụ:  Tìm x biết ${\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{8}{6}}$

Ta có: 

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{8}{6}}\\ \Rightarrow x.6=8.2\\ \Rightarrow x={\displaystyle \frac{16}{6}}\\ \Rightarrow x={\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array}$

Dạng 3: Chứng minh các tỉ lệ thức

Phương pháp:

Dựa vào các tính chất của tỉ lệ thức và biến đổi linh hoạt để chứng minh.

Dạng 4: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.

Phương pháp giải:

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ ta làm như sau

Ta có ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

${\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}={\displaystyle \frac{x+y}{a+b}}={\displaystyle \frac{s}{a+b}}$

Từ đó $x={\displaystyle \frac{s}{a+b}}.a;y={\displaystyle \frac{s}{a+b}}.b$ .

* Để tìm hai số $x;y$ khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ ta làm như sau

Ta có ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :

${\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}={\displaystyle \frac{x-y}{a-b}}={\displaystyle \frac{p}{a-b}}$

Từ đó $x={\displaystyle \frac{p}{a-b}}.a;$$y={\displaystyle \frac{p}{a-b}}.b$ .

Ví dụ: Tìm hai số $x;y$ biết $\frac{x}{3}=\frac{y}{5}$ và $x+y=-32$

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{x+y}{3+5}=\frac{-32}{8}=-4$

Do đó $\frac{x}{3}=-4\Rightarrow x=(-4).3=-12$  và $\frac{y}{5}=-4\Rightarrow y=(-4).5=-20.$

Vậy $x=-12;y=-20.$

Dạng 5: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số $P$ thành ba phần $x,y,z$ tỉ lệ với các số $a,b,c$, ta làm như sau:

${\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}={\displaystyle \frac{z}{c}}={\displaystyle \frac{x+y+z}{a+b+c}}={\displaystyle \frac{P}{a+b+c}}$

Từ đó $x={\displaystyle \frac{P}{a+b+c}}.a;y={\displaystyle \frac{P}{a+b+c}}.b$; $z={\displaystyle \frac{P}{a+b+c}}.c$.

Dạng 6: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng

Phương pháp:

Tìm hai số $x;y$ biết $x.y = P$ và ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$

Cách 1: Ta có ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}$

Đặt ${\displaystyle \frac{x}{a}}={\displaystyle \frac{y}{b}}=k$ ta có $x=ka;y=kb$

Nên $x.y=ka.kb=k^{2}ab=P$$\Rightarrow k^2={\displaystyle \frac{P}{ab}}$

Từ đó tìm được $k$ sau đó tìm được $x,y$.

Cách 2: Ta có ${\displaystyle \frac{x}{y}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{x^2}{xy}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ hay ${\displaystyle \frac{x^2}{P}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$$\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{Pa}{b}}$  từ đó tìm được $x$ và $y.$

Dạng 7: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.

Phương pháp:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 8: Bài toán về tỉ lệ thức

Phương pháp:

+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài

+ Lập được tỉ lệ thức

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.