Giải mục 2 trang 38 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ2

Với hai số $a,b$ bất kì, viết $a-b=a+\left(-b\right)$ và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính $a^3+\left(-b^3\right)$.

Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^3-b^3$ và $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A-AB+B^2\right)$

Lời giải chi tiết:

$a^3+\left(-b^3\right)=\left[a+\left(-b\right)\right]\left[a^2-a.\left(-b\right)+{\left(-b\right)}^2\right]=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

Từ đó ta có $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$

Luyện tập 2

1. Viết đa thức $x^3-8$ dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức $\left(3x-2y\right)\left(9x^2+6xy+4y^2\right)+8y^3$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $A^3-B^3=\left(A-B\right)\left(A+AB+B^2\right)$

Lời giải chi tiết:

1. $x^3-8=x^3-2^3=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$
2.  

$\begin{array}{l}\left(3x-2y\right)\left(9x^2+6xy+4y^2\right)+8y^3\\ =\left(3x-2y\right)\left[{\left(3x\right)}^2+3x.2y+{\left(2y\right)}^2\right]+8y^3\\ ={\left(3x\right)}^3-{\left(2y\right)}^3+8y^3\\ =27x^3-8y^3+8y^3\\ =27x^3\end{array}$

Vận dụng

Giải quyết tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $A^3+B^3=\left(A+B\right)\left(A^2-AB+B^2\right)$

Lời giải chi tiết:

$x^6+y^6={\left(x^2\right)}^3+{\left(y^2\right)}^3=\left(x^2+y^2\right)\left[{\left(x^2\right)}^2-x^2.y^2+{\left(y^2\right)}^2\right]=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2{y}^2+y^4\right)$