Giải bài 4 trang 72 SGK Toán 8 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$). Tia phân giác của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$. Trên $BC$ lấy điểm$E$ sao cho $BE=BA$.

a) Chứng minh rằng $\mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }EBD$

b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tứ giác $ADEH$ là hình thang vuông.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ với $BD$, đường thẳng $EI$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng tứ giác $ACEF$ là hình thang vuông.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\mathrm{\Delta }ABD$ và $\mathrm{\Delta }EBD$ ta có:

$BA=BE$ (gt)

$\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{E}\mathrm{B}\mathrm{D}}$ (do $BD$ là phân giác)

$BD$ chung

Suy ra $\mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }EBD$ (c-g-c)

b) Vì $\mathrm{\Delta }ABD=\mathrm{\Delta }EBD$ (cmt)

Suy ra $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{D}}={90}^{\circ }$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $DE\mathrm{\perp }BC$

Mà $AH\mathrm{\perp }BC$ (gt)

Suy ra $AH$ // $DE$

Suy ra $ADEH$ là hình thang

Mà $\widehat{\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{B}}=90$ (cmt)

Suy ra $ADEH$ là hình thang vuông

c) 

Gọi $K$ là giao điểm của $AE$ và $AD$

Suy ra $BK$ là phân giác của $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}$

Mà $\mathrm{\Delta }ABE$ cân tại $B$ (do $BA=BE$ )

Suy ra $BK$ cũng là đường cao

Xét $\mathrm{\Delta }ABE$ có hai đường cao $BK$ và $AH$ cắt nhau tại $I$

Suy ra $I$ là trực tâm của $\mathrm{\Delta }ABE$

Suy ra $EF\mathrm{\perp }AB$

Mà $AC\mathrm{\perp }AB$ (do $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$)

Suy ra $AC$ // $EF$

Suy ra $ACEF$ là hình thang

Mà $\widehat{\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{E}}={90}^{\circ }$(gt)

Suy ra $ACEF$ là hình thang vuông