Giải bài 2 trang 80 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$, kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại $H$ và $CK$ vuông góc với $BD$ tại $K$ (Hình 20)

a) Chứng minh tứ giác $AHCK$ là hình bình hành

b) Gọi $I$ là trung điểm của $HK$.Chứng minh $IB=ID$

Lời giải chi tiết

a) Vì $AH$, $CK$ vuông góc với $BD$ (gt)

Suy ra $AH$ // $CK$

Vì $ABCD$ là hình bình hành (gt)

Suy ra $AD=BC$; $AD$ // $BC$

Xét $\mathrm{\Delta }ADH$ và $\mathrm{\Delta }CBK$ ta có:

$\widehat{\mathrm{A}\mathrm{H}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{C}\mathrm{K}\mathrm{B}}={90}^{\circ }$ (gt)

$AD=BC$ (cmt)

$\widehat{\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{H}}=\widehat{\mathrm{C}\mathrm{B}\mathrm{K}}$ (do $AD$ // $BC$)

Suy ra $\mathrm{\Delta }ADH=\mathrm{\Delta }CBK$ (ch-gn)

Suy ra $AH=CK$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $AH$ // $CK$ (cmt)

Suy ra $AHCK$ là hình bình hành

b) Vì $AHCK$ là hình bình hành nên hai đường chéo $HK$ và $AC$ cắt nhau tại trung điểm.

Mà $I$ là trung điểm của $HK$.

Suy ra $I$ là trung điểm của $AC$.

Ta lại có $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra $I$ là trung điểm của $BD$ hay $IB=ID$