Giải bài 5 trang 54 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB;AC;BC$. Kẻ đường cao $AH$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPH$ là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

- Vì $M$ là trung điểm của $AB;N$ là trung điểm của $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Do đó, $MN//BC$ (tính chất đường trung bình).

$\Rightarrow MN//HP\left(H;P\in BC\right)$

Xét tứ giác $MNPH$ có: $MN//HP\Rightarrow$ tứ giác $MNPH$ là hình thang.

- Vì $M$ là trung điểm của $AB;P$ là trung điểm của $AC$ nên $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Do đó, $MP=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình) (1).

- Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có:

$N$là trung điểm của $AC$ nên $HN=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $MP=HN$.

Xét hình thang $MNPH$ có: $MP=HN$ (chứng minh trên).

Do đó, hình thang $MNPH$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).