Giải mục 1 trang 55 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác $AD$. Vẽ đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ và cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

a) Tam giác $BAE$ cân tại $A$.

b) $\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AC}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $BE//AD$ nên $\widehat{EBA}=\widehat{BAD}$ (cặp góc so le trong)  (1)

Vì $BE//AD$ nên $\widehat{BEA}=\widehat{DAC}$ (cặp góc đồng vị)   (2)

Vì $AD$ là tia phân giác nên $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$ (tính chất)  (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{AEB}$ (tính chất bắc cầu)

Xét tam giác $BAE$ có:

$\widehat{EBA}=\widehat{AEB}$ (chứng minh trên)

Nên tam giác $BAE$ cân tại $A$.

b) Vì $BE//AD$ nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AE}{AC}$.

Mà tam giác $BAE$ cân tại $A$ nên $AE=AB\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AC}$ (định lí Thales)

Do đó, $\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AC}$ (điều phải chứng minh).