Giải bài 3 trang 78 SGK Toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ, trong đó dùng ba đỉnh A', B', C' của tam giác A'B'C' lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng và bác Duy vẽ lần lượt là 1 : 1 000 000 và 1 : 500 000. Chứng minh $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ và tính tỉ số đồng dạng. 

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có:

$\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }MNP$ theo hệ số tỉ lệ là $\frac{1}{1000000}$

 $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }MNP$ theo hệ số tỉ lệ là $\frac{1}{1500000}$.

Từ đó ta có:

$\begin{array}{l}\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CA}{PM}=1000000\\ \Rightarrow AB=1000000MN,BC=1000000NP,CA=1000000PM\end{array}$

và $\begin{array}{l}\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{MN}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{NP}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{PM}=1500000\\ \Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=1500000MN,B^{\prime }{C}^{\prime }=1500000NP,C^{\prime }{A}^{\prime }=1500000PM\end{array}$

Ta thấy

$\begin{array}{l}\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1000000MN}{1500000MN}=\frac{2}{3}\\ \frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1000000NP}{1500000NP}=\frac{2}{3}\\ \frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{1000000PM}{1500000PM}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}\end{array}$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (c-c-c) với tỉ số đồng dạng là $\frac{2}{3}$.