Giải bài 3.30 trang 44 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Khái niệm tam giác, tứ giác có thể mở rộng thành khái niệm n – giác (n là số tự nhiên lớn hơn 2) như sau:

n – giác là hình tạo bởi n đoạn thẳng (gọi là cạnh của n – giác) $A_0{A}_1,A_1{A}_2,...,A_{n-1}{A}_n,A_n{A}_0$ (các điểm $A_0,A_1,...,A_n$ gọi là đỉnh của n – giác), trong đó không có ba đỉnh nào cùng nằm trên một đường thẳng và hình nằm về một phía đối với mỗi đường thẳng chứa một cạnh.

Khi $n=3;4;5;6;7;8,$ n – giác còn được gọi lần lượt là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, thất giác, bát giác.

Hai đỉnh của n – giác gọi là kề nhau nếu chúng là hai đỉnh của một cạnh của n – giác.

Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của n – giác gọi là một đường chéo của n – giác.

a) Chứng minh qua mỗi đỉnh của n – giác, có $n-3$ đường chéo của n – giác. Từ đó suy ra n – giác có $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ đường chéo.

b) Hãy vẽ tất cả các đường chéo của một ngũ giác $\left(n=5\right)$

Lời giải chi tiết

a) Không có đường chéo nào của n – giác nối một đỉnh cho trước với chính đỉnh đó và với hai đỉnh kề với đỉnh đó nên có $n-3$ đường chéo của n – giác qua đỉnh đang xét.

Tính theo cách đó thì n – giác có $n\left(n-3\right)$ đường chéo, nhưng mỗi đường chéo được tính hai lần nên n – giác có tất cả $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ đường chéo.

b) Giả sử ta có ngũ giác ABCDE, khi đó ngũ giác này có $\frac{5\left(5-3\right)}{2}=5$ đường chéo, đó là: AC, AD, BD, BE, CE.