Giải bài 3.29 trang 44 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Gọi H là giao của ba đường cao AI, BJ, CK của tam giác nhọn ABC. Dùng công thức tính diện tích tam giác để chứng minh: $\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=1$

Hỏi khi góc A của tam giác ABC là góc tù thì công thức đó thay đổi thế nào?

Lời giải chi tiết

+ Trường hợp tam giác ABC nhọn:

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}IA.BC$

Diện tích tam giác HBC là: $S_{HBC}=\frac{1}{2}HI.BC$

Do đó, $\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HI.BC}{\frac{1}{2}AI.BC}=\frac{HI}{AI}$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}BJ.AC$

Diện tích tam giác HAC là: $S_{HAC}=\frac{1}{2}HJ.AC$

Do đó, $\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HJ.AC}{\frac{1}{2}BJ.AC}=\frac{HJ}{BJ}$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}CK.AB$

Diện tích tam giác HAB là: $S_{HAB}=\frac{1}{2}HK.AB$

Do đó, $\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HK.AB}{\frac{1}{2}CK.AB}=\frac{HK}{CK}$

Vậy $\frac{HI}{AI}+\frac{HJ}{BJ}+\frac{HK}{CK}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=1$

Trường hợp góc A tù, H nằm trong góc đối đỉnh với góc BAC, ta có: $S_{ABC}=S_{HBC}-S_{HAB}-S_{HAC}$

Do đó, $\frac{HI}{AI}-\frac{HJ}{BJ}-\frac{HK}{CK}=1$