Giải bài 12 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) $AE.AB=AF.AC$

b) $\Delta ADE\backsim \Delta AHC$ và $\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ ($\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ không chứng minh được vì đề bài không cho vị trí của điểm N).

Lời giải chi tiết

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^0$

Vì HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC nên $HE\mathrm{\perp }AB,HF\mathrm{\perp }AC$

Do đó, $\widehat{HEB}=\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{HFC}={90}^0$

Tam giác HEA và tam giác BHA có:

$\widehat{HEA}=\widehat{AHB}={90}^0,\widehat{BAH}chung$

Do đó, $\Delta HEA\backsim \Delta BHA\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}$ nên $AE.AB=A{H}^2\left(1\right)$

Tam giác HFA và tam giác CHA có:

$\widehat{HFA}=\widehat{AHC}={90}^0,\widehat{CAH}chung$

Do đó, $\Delta HFA\backsim \Delta CHA\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}$ nên $AF.AC=A{H}^2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: $AE.AB=AF.AC$

b) Vì $AE.AB=AF.AC$ nên $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

Tam giác AEF và tam giác ACB có: $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB},\widehat{BAC}chung$

Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$, suy ra, $\widehat{AEF}=\hat{C}$

Tam giác AED và tam giác ACH có:

$\widehat{ADE}=\widehat{AHC}={90}^0,\widehat{AEF}=\hat{C}\left(cmt\right)$

Do đó, $\Delta ADE\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$