Giải bài 13 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC có $AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm.$ Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho $BD=2cm.$ Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng $\Delta BDE\backsim \Delta DCF$

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\left(do{3}^2+4^2=5^2\right)$ nên tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo). Do đó, $\widehat{BAC}={90}^0$

Vì DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC nên$DE\mathrm{\perp }AB,DF\mathrm{\perp }AC$

Do đó, $\widehat{DFC}=\widehat{DFA}=\widehat{DEA}=\widehat{DEB}={90}^0$

Tứ giác AEDF có: $\widehat{DFA}=\widehat{DEA}=\widehat{FAE}={90}^0$ nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật. Do đó, $\widehat{FDE}={90}^0$

Mà $\widehat{CDF}+\widehat{FDE}+\widehat{EDB}={180}^0$ nên $\widehat{CDF}+\widehat{EDB}={90}^0$

Tam giác BDE và tam giác DCF có:

$\widehat{DEB}=\widehat{DFC}={90}^0,\hat{B}=\widehat{FDC}\left(={90}^0-\widehat{EDB}\right)$

Do đó, $\Delta BDE\backsim \Delta DCF\left( g-g \right)$

b) Tam giác ABC có: DE//AC (cùng vuông góc với AB) nên  $\Delta BDE\backsim \Delta BCA$, do đó $\frac{BD}{BC}=\frac{ED}{AC}=\frac{EB}{AB}$. Suy ra: $\frac{DE}{4}=\frac{EB}{3}=\frac{2}{5}$

Do đó: $DE=\frac{8}{5}cm,EB=\frac{6}{5}cm\Rightarrow EA=\frac{9}{5}cm$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AED vuông tại E có: $A{D}^2=A{E}^2+E{D}^2={\left(\frac{9}{5}\right)}^2+{\left(\frac{8}{5}\right)}^2=\frac{29}{5}$ nên $AD=\sqrt{\frac{29}{5}}cm$