Giải bài 9 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH.

a) Chứng minh rằng $A{B}^2=BH.BC$.

b) Chứng minh rằng $A{H}^2=BH.CH$.

c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D $\left(AD<AC\right)$. Đường thẳng qua H và song song với AC cắt AB, BD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng $\frac{MN}{MH}=\frac{AD}{AC}$.

d) Vẽ AE vuông góc với BD tại E. Chứng minh rằng $\widehat{BEH}=\widehat{BAH}$.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh được $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)$ nên $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{AB}$, do đó, $A{B}^2=BH.BC$

b) Chứng minh được $\Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)$ nên $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$, do đó $A{H}^2=BH.CH$.

c) Tam giác ABD có MN//AD nên $\frac{MN}{AD}=\frac{BM}{BA}\left(1\right)$

Tam giác ABC có MH//AC nên $\frac{MH}{AC}=\frac{BM}{BA}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{MN}{AD}=\frac{MH}{AC}$ hay $\frac{MN}{MH}=\frac{AD}{AC}$

d) Chứng minh được $\Delta ABD\backsim \Delta EBA\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{AB}{BE}=\frac{BD}{AB}$ hay $A{B}^2=BE.BD$

Mà $A{B}^2=BH.BC$ nên $BE.BD=BH.BC$, hay $\frac{BH}{BD}=\frac{BE}{BC}$

Xét tam giác BEH và tam giác BCD ta có: $\frac{BH}{BD}=\frac{BE}{BC}$ góc DBC chung. Do đó, $\Delta BEH\backsim \Delta BCD\left( c.g.c \right)$

Suy ra $\widehat{BEH}=\widehat{BCD}$. Mà $\widehat{BAH}=\widehat{BCD}$ (cùng phụ với góc HAC). Vậy $\widehat{BEH}=\widehat{BAH}$