Giải bài 25 trang 41 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho biểu thức: $S=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

a)     Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $S$ tại $x=0,1$

b)    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S$

Lời giải chi tiết

a)     Điều kiện xác định của biểu thức $S$ là: $x\ne 0;x\ne -2$

Rút gọn biểu thức ta có:

$\begin{array}{l}S=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}\\ =\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\frac{x+2-x^2}{x+2}-\frac{x^2+6x+4}{x}\\ =\frac{\left(x+2\right).\left(-x^2+x+2\right)}{x}-\frac{x^2+6x+4}{x}\\ =\frac{-x^3+x^2+2x-2x^2+2x+4-x^2-6x-4}{x}\\ =\frac{-x^3-2x^2-2x}{x}=-x^2-2x-2\end{array}$

Giá trị của biểu thức $S$ tại $x=0,1$ là: $-0,1^2-2.0,1-2=-2,21$

b)    Ta có: $S=-x^2-2x-2=-\left(x^2-2x+1\right)-1=-{\left(x-1\right)}^2-1$

Suy ra $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $-{\left(x-1\right)}^2-1$ đạt giá trị lớn nhất. Mà với mọi $x$, ta có ${\left(x-1\right)}^2\ge 0$ hay $-{\left(x-1\right)}^2-1\le -1$.

Vậy giá trị lớn nhất của $S$ là -1 khi $\left(x-1\right)=0$ hay $x=1$ (thỏa mãn điều kiện xác định)