Giải bài 70 trang 85 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh:

a)      $\mathrm{\Delta }EBH\backsim \mathrm{\Delta }DCH,\mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$;

b)     $DB$ là tia phân giác của góc $EDI$, với $I$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

Lời giải chi tiết

a)      Vì các tam giác $EBH$ và $DCH$ đều là các tam giác vuông và $\widehat{EBH}=\widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\mathrm{\Delta }EBH\backsim \mathrm{\Delta }DCH$. Tương tự, ta có các tam giác $ABH$ và $ACE$ là các tam giác vuông và $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ nên $\mathrm{\Delta }ABH\backsim \mathrm{\Delta }ACE$. Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ hay $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$. Mà $\widehat{BAC}=\widehat{DAE}$ suy ra $\mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$.

b)     Do $\mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ nên $\widehat{ADE}=\widehat{CBA}$ (1). Tương tự cách chứng minh ở câu a, ta có $\mathrm{\Delta }CDI\backsim \mathrm{\Delta }CBA$ (2). Từ (1) và (2), ta có $\widehat{ADE}=\widehat{CDI}$.

Do đó $90{}^{\circ }-\widehat{ADE}=90{}^{\circ }-\widehat{CDI}$ hay $\widehat{EDB}=\widehat{BDI}$. Vậy $DB$ là đường phân giác của góc $EDI$.