Bài 85 trang 90 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD.$ Qua $C$ kẻ đường thẳng $xy$ chỉ có một điểm chung $C$ với hình bình hành. Gọi $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ là các đường vuông góc kẻ từ $A,B,D$ đến đường thẳng $xy.$ Chứng minh rằng $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }.$

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD.$

Kẻ $O{O}^{\prime }\perp xy$

Ta có: $B{B}^{\prime }\perp xy(gt)$

           $D{D}^{\prime }\perp xy(gt)$

Suy ra: $B{B}^{\prime }//O{O}^{\prime }//D{D}^{\prime }$

Tứ giác $B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D$ là hình thang

$OB=OD$ (tính chất hình bình hành)

nên $O^{\prime }{B}^{\prime }=O^{\prime }{D}^{\prime }$ do đó $O{O}^{\prime }$ là đường trung bình của hình thang $B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D$

$\Rightarrow O{O}^{\prime }={\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }+{\mathrm{D}\mathrm{D}}^{\prime }}{2}}$ (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay $B{B}^{\prime }+{\mathrm{D}\mathrm{D}}^{\prime }=2O{O}^{\prime }$ $(1)$

$A{A}^{\prime }\perp xy(gt)$

$O{O}^{\prime }\perp xy$ (theo cách vẽ)

Suy ra: $A{A}^{\prime }//O{O}^{\prime }$

Trong $∆AC{A}^{\prime }$ ta có: $OA=OC$ ( tính chất hình bình hành) và $O{O}^{\prime }//A{A}^{\prime }$ nên $O^{\prime }{A}^{\prime }=O^{\prime }{C}^{\prime }$ 

Suy ra $O{O}^{\prime }$ là đường trung bình của $∆AC{A}^{\prime }$

$\Rightarrow O{O}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}A{A}^{\prime }}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow A{A}^{\prime }=2O{O}^{\prime }(2)$

Từ  $(1)$ và $(2)$ suy ra: $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]