Bài 84 trang 90 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Trên hình $11,$ cho $ABCD$ là hình bình hành. Chứng minh rằng:

$a)$ $EGFH$ là hình bình hành

$b)$ Các đường thẳng $AC,$$BD,$ $EF,$ $GH$ đồng quy.

Lời giải chi tiết

$a)$ Vì ABCD là hình bình hành nên $AB//CD,AB=CD,$ $AD//BC,AD=BC$ (tính chất)

+) Ta có: $EB=AB-AE,DF=CD-CF$ mà $AB=CD,AE=CF$ (gt) nên $EB=DF$

+) Ta có: $AH=AD-DH,CG=BC-BG$ mà $AD=BC,DH=BG$ (gt) nên $AH=CG$

Xét $∆AEH$ và $∆CFG:$

$AE=CF$ (gt)

$\hat{A}=\hat{C}$ (tính chất hình bình hành ABCD)

$AH=CG$ (cmt)

Do đó: $∆AEH=∆CFG(c.g.c)$

$\Rightarrow EH=FG$ (1)

Xét $∆BEG$ và $∆DFH:$

$DH=BG(gt)$

$\hat{B}=\hat{D}$ (tính chất hình bình hành ABCD)

$BE=DF$ (cmt)

Do đó: $∆BEG=∆DFH(c.g.c)$

$\Rightarrow EG=FH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác $EGFH$ là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)

$b)$ Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $EF.$

Xét tứ giác $AECF,$ có: 

$AE//CF$ (do $AB//CD)$ và $AE=CF(gt)$

Suy ra: Tứ giác $AECF$ là hình bình hành (vì có $1$ cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ và $EF$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có $O$ là trung điểm của $AC$ nên $O$ cũng là trung điểm của $BD.$

Tứ giác $EGFH$ là hình bình hành có $O$ là trung điểm của $EF$ nên $O$ cùng là trung điểm của $GH.$

Vậy $AC,BD,EF,GH$ đồng quy tại $O.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]