Bài 83 trang 90 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $E,$ $F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,$ $CD.$ Gọi $M$ là giao điểm của $AF$ và $DE,$ $N$ là giao điểm của $BF$ và $CE.$ Chứng minh rằng :

$a)$ $EMFN$ là hình bình hành.

$b)$ Các đường thẳng $AC,$ $EF,$ $MN$ đồng quy.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $AB//CD$ và $AB=CD$ (tính chất)

Ta có: $AE=EB={\displaystyle \frac{AB}{2}}$ (vì E là trung điểm của AB)

$DF=CF={\displaystyle \frac{DC}{2}}$ (vì F là trung điểm của CD)

Mà $AB=CD$ (cmt)

Suy ra $AE=EB=DF=FC$ 

Xét tứ giác $AECF,$ có:

$AE=CF$ (cmt)

$AE//CF$ (do $AB//CD)$ 

Suy ra tứ giác $AECF$ là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)

$\Rightarrow AF//CE$ hay $EN//FM(1)$

Xét tứ giác $BFDE,$ có:

$BE=DF$ (cmt)

$BE//DF$ (do $AB//CD$)

Suy ra tứ giác $BFDE$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

$\Rightarrow BF//DE$ hay $EM//FN(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tứ giác $EMFN$ là hình bình hành (theo định nghĩa)

$b)$ Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $EF$

Tứ giác $AECF$ là hình bình hành $\Rightarrow OE=OF$

Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Suy ra: $MN$ đi qua trung điểm $O$ của $EF$

Vậy $AC,EF,MN$ đồng quy tại $O.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]