Bài 141 trang 97 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác $ABC.$ Lấy các điểm $D,E$ theo thứ tự trên các cạnh $AB,AC$ sao cho $BD=CE.$ Gọi $M,N,I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $BE,CD,DE,BC.$ Chứng minh rằng $IK$ vuông góc với $MN.$

Lời giải chi tiết

Trong $∆BCD$ ta có:

$K$ là trung điểm của $BC$ (gt)

$N$ là trung điểm của $CD$ (gt)

nên $NK$ là đường trung bình của $∆BCD$

$\Rightarrow NK//BD$ và $NK={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (1)

Trong $∆BED$ ta có:

$M$ là trung điểm của $BE$ (gt)

$I$ là trung điểm của $DE$ (gt)

nên $MI$ là đường trung bình của $∆BED$

$\Rightarrow MI//BD$ và $MI={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $MI//NK$ và $MI=NK$

nên tứ giác $MKNI$ là hình bình hành

Trong $∆BEC$ ta có:

$M$ là trung điểm của $BE$ (gt)

$K$ là trung điểm của $BC$ (gt)

Nên $MK$ là đường trung bình

Suy ra $MK={\displaystyle \frac{1}{2}CE}$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mà $NK={\displaystyle \frac{1}{2}BD}$ (theo (1)) và $BD=CE$ (gt)

Suy ra: $MK=KN$

Vây hình bình hành $MKNI$ là hình thoi.

$\Rightarrow IK\perp MN$ (tính chất hình thoi)

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]