Bài 132 trang 96 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi.

Lời giải chi tiết

Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$ của hình chữ nhật $ABCD.$

Kẻ đường chéo $AC.$

- Trong $∆ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm của $BC$

nên $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$

$\Rightarrow EF//AC$ và $EF=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$AC$ (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

- Trong $∆ADC$ ta có:

$H$ là trung điểm $AD$

$G$ là trung điểm $DC$

nên $HG$ là đường trung bình của $∆ADC.$

$\Rightarrow HG//AC$ và $HG=$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$$AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF//HG$ và $EF=HG$

Suy ra tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

- Xét $∆AEH$ và $∆DGH:$

$AH=DH$ (gt)

$\widehat{EAH}=\widehat{GDH}={90}^0$

$AE=DG$ (vì $AB=CD$)

Do đó: $∆AEH=∆DGH(c.g.c)$ $\Rightarrow HE=HG$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy hình bình hành $EFGH$ là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]