Bài 22 trang 158 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ $(h.184).$ Đường phân giác của các góc $A$ và $C$ cắt đường chéo $BD$ tại $E,F.$

a) Chứng minh rằng hai hình $ABCFE$ và $ADCFE$ có cùng diện tích.

b) Các hình đó có phải đa giác lồi không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\hat{A}=\hat{C}$, mà $AE,CF$ lần lượt là phân giác góc A và góc C nên $\widehat{BAE}=\widehat{DAE}={\displaystyle \frac{\widehat{BAD}}{2}}$ và $\widehat{DCF}=\widehat{BCF}={\displaystyle \frac{\widehat{DCB}}{2}}$

Suy ra $\widehat{BAE}=\widehat{DAE}=\widehat{DCF}=\widehat{BCF}$

Xét $∆ABE$ và $∆CDF$ có:

$\widehat{BAE}=\widehat{DCF}$ (chứng minh trên)

$AB=CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\widehat{ABE}=\widehat{FDC}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\Rightarrow ∆ABE=∆CDF(g.c.g)$

$\Rightarrow S_{ABE}=S_{CDF}$ $(1)$

Xét $∆AED$ và $∆CFB$ có:

$\widehat{DAE}=\widehat{BCF}$ (chứng minh trên)

$AD=CB$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\widehat{ADE}=\widehat{FBC}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\Rightarrow ∆AED=∆CFB(g.c.g)$

$\Rightarrow S_{AED}=S_{CFB}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:

$S_{ABE}+S_{CFB}=S_{CDF}+S_{AED}$

Hay $S_{ABCFE}=S_{ADCFE}$

b. Hình $ABCFE$ không phải đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh $EF.$

Hình $ADCFE$ không phải là đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh $EF.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]