Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 83 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao là $AD(D\in BC)$. Từ $D$, kẻ $DE$ vuông góc với $AB(E\in AB)$ và $DF$ vuông góc với $AC(F\in AC).$

Hỏi rằng, khi độ dài các cạnh $AB,AC$ thay đổi thì tổng ${\displaystyle \frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}}$ có thay đổi hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Vì $DE$ và $CA$ cùng vuông góc với $AB$ nên $DE//AC$.

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có $DE//AC$

Theo định lí Ta-lét, ta có:

${\displaystyle \frac{AE}{AB}=\frac{CD}{CB}}$       (1)

Vì $DF$ và $BA$ cùng vuông góc với $AC$ nên $DF//AB$.

Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ có $DF//AB$

Theo định lí Ta-lét, ta có:

${\displaystyle \frac{AF}{AC}=\frac{BD}{BC}}$       (2)

Cộng (1) và (2) theo vế với vế, ta có:

${\displaystyle \frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{CB}+\frac{BD}{BC}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD+BD}{BC}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{BC}{BC}=1}$

Tổng ${\displaystyle \frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}}$ không thay đổi vì luôn có giá trị bằng $1.$

Vậy khi độ dài cạnh góc vuông $AB,AC$ của tam giác vuông $ABC$ thay đổi thì tổng ${\displaystyle \frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}}$ luôn luôn không thay đổi. Tổng đó luôn có giá trị bằng $1.$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]